Forme du sommet

Calculatrice pour la conversion de la forme standard à la forme sommet

La calculatrice détermine pas à pas la forme du sommet de la fonction quadratique.

La fonction quadratique générale

$y (x) = a x^{2} + b x + c$

est converti en forme de sommet

$y (x) = a {(x - x_{V})}^{2} + y_{V}$

Entrez les coefficients a, b et c de la fonction quadratique:

Conversion en forme de sommet avec expansion quadratique:

Le résultat est la forme du sommet :

La forme du sommet de la fonction carrée est:

$y (x) = a {(x - x_{V})}^{2} + y_{V}$

ou si la fonction carré est en forme de base avec a=1:

$y (x) = {(x - x_{V})}^{2} + y_{V}$

Où x_V et y_V sont les coordonnées x et y du sommet de la parabole. Le sommet est le minimum ou le maximum de la fonction, selon que la parabole est ascendante ou descendante.

Sommet d'une parabole dans la forme p,q

Sommet d'une parbole en forme générale

Sommet de la parabole

La détermination du sommet d'une fonction quadratique s'effectue en dérivant la fonction. La condition pour un extremum est que la dérivée première de la fonction disparaisse. Pour une fonction carrée, cela suffit pour un minimum ou un maximum.

Le point de départ est la fonction quadratique générale:

$y (x) = a x^{2} + b x + c$

La dérivée de la forme générale est:

$y' = 2 a x + b$

La condition pour le sommet est que la dérivée soit égale à 0. Cela signifie que l'équation suivante est valide:

$2 a x + b = 0$

La résolution donne la coordonnée x du sommet:

$x_{V} = - \frac{b}{2 a}$

En insérant dans la fonction quadratique générale, on obtient la coordonnée y du sommet:

$y_{V} = - \frac{b^{2}}{4 a} + c$

La dérivée seconde de la fonction quadratique permet de déterminer si le sommet est un maximum ou un minimum. La dérivée seconde est:

$y'' = 2 a$

Donc pour a > 0 le sommet est une valeur minimale de la parabole et pour a < 0 une valeur maximale.

Transformation de la forme de base en forme de sommet

Dans la forme de base, le coefficient avant x² est égal à 1. La forme de base de la fonction quadratique avec les coefficients constants p et q est la suivante

$y (x) = x^{2} + p x + q$

Si la fonction carrée est sous forme de base, le sommet de la parabole est donné par:

$x_{V} = - \frac{p}{2}$

$y_{V} = - {(\frac{p}{2})}^{2} + q$

Transformation de la forme de base en forme de sommet avec expansion quadratique et application du premier binôme:

$x^{2} + p x + q =$

$x^{2} + p x + {(\frac{p}{2})}^{2} - {(\frac{p}{2})}^{2} + q =$

${(x + \frac{p}{2})}^{2} - {(\frac{p}{2})}^{2} + q =$

${(x - \frac{- p}{2})}^{2} - {(\frac{p}{2})}^{2} + q =$

${(x - x_{V})}^{2} + y_{V}$

Calculateur pour la conversion de la forme de base en forme de sommet

Entrez les coefficients p et q de l'équation quadratique:

Conversion en forme de sommet avec expansion quadratique:

Transformation de la forme standard en forme de sommet

Forme standard de la fonction quadratique avec les coefficients constants a, b, et c:

$y = a x^{2} + b x + c$

Si la fonction quadratique est sous la forme standard, le sommet est donné par:

$x_{V} = - \frac{b}{2 a}$

$y_{V} = - \frac{b^{2}}{4 a} + c$

Transformation de la forme standard en forme de sommet avec expansion quadratique et application du premier binôme:

$a x^{2} + b x + c =$

$a (x^{2} + \frac{b}{a} x) + c =$

$a (x^{2} + \frac{b}{a} x + {(\frac{b}{2 a})}^{2} - {(\frac{b}{2 a})}^{2}) + c =$

$a (x^{2} + \frac{b}{a} x + {(\frac{b}{2 a})}^{2}) - \frac{b^{2}}{4 a} + c =$

$a {(x + \frac{b}{2 a})}^{2} - \frac{b^{2}}{4 a} + c =$

$a {(x - \frac{- b}{2 a})}^{2} - \frac{b^{2}}{4 a} + c =$

$a {(x - x_{V})}^{2} + y_{V}$

De la forme du sommet à la forme standard

Conversion de la forme sommet de la fonction quadratique en forme standard.

Le point de départ est la forme du sommet

$y = a {(x - x_{V})}^{2} + y_{V} =$

En résolvant le carré, on obtient:

$a (x^{2} - 2 x x_{V} + {x_{V}}^{2}) + y_{V} =$

En multipliant la parenthèse, on obtient:

$a x^{2} - 2 a x x_{V} + a {x_{V}}^{2} + y_{V} =$

Insertion de x_V et y_V résultats:

$a x^{2} + 2 a x \frac{b}{2 a} + a {(- \frac{b}{2 a})}^{2} - \frac{b^{2}}{4 a} + c =$

Le raccourcissement entraîne:

$a x^{2} + b x + \frac{b^{2}}{4 a} - \frac{b^{2}}{4 a} + c =$

Les sommets s'annulent et la fonction quadratique générale suit:

$a x^{2} + b x + c$

Calcul des points zéro à partir de la forme des sommets

À partir de la forme du sommet de la fonction quadratique, il est facile de calculer les zéros de la fonction.

En partant de la forme du sommet

$y = a {(x - x_{V})}^{2} + y_{V}$

la condition pour les zéros est que la fonction soit nulle

$0 = a {(x - x_{V})}^{2} + y_{V}$

et le remodelage des rendements

${(x - x_{V})}^{2} = - \frac{y_{V}}{a}$

La racine carrée conduit à

$x - x_{V} = \pm \sqrt{- \frac{y_{V}}{a}}$

et enfin aux zéros

$x_{1,2} = x_{V} \pm \sqrt{- \frac{y_{V}}{a}}$

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