Calculatrice pour les déterminants 3x3

Calculatrice en ligne pour le déterminant 3x3

La calculatrice en ligne calcule la valeur du déterminant d'une matrice 3x3 après la règle de Sarrus et avec l'expansion de Laplace dans une ligne ou une colonne.

Déterminant 3x3

$\mathrm{det\; A}=\left|\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\end{array}\right|$

Entrez les coefficients

↹#.000

a₁₁=

a₁₂=

a₁₃=

a₂₁=

a₂₂=

a₂₃=

a₃₁=

a₃₂=

a₃₃=

Calcul de la valeur déterminante

Calcul selon la règle de Sarrus

Pour une matrice 3x3, le déterminat peut être calculé avec la règle de Sarrus. La règle de Sarrus utilise les diagonales pour le calcul. La calculatrice montre les étapes du calcul. Pour l'illustration, les éléments des diagonales principales sont colorés en vert et les éléments des diagonales secondaires sont colorés en bleu. En gris, les deux premières colonnes sont répétées pour faciliter la lecture des diagonales.

Calcul utilisant l'expansion de Laplace

Une méthode générale pour calculer le déterminat est donnée par le théorème d'expansion de Laplace. Le théorème peut être utilisé à partir de n'importe quelle ligne ou colonne. La calculatrice affiche le développement pour une ligne ou une colonne sélectionnée. Vous pouvez sélectionner la ligne ou la colonne à utiliser pour le développement.

Calcul avec l'algorithme de Gauss

Note:

Si les coefficients de tête sont nuls, les colonnes ou les lignes doivent être permutées en conséquence, de sorte qu'une division par le coefficient de tête soit possible. La valeur du déterminant est correcte si, après les transformations, la matrice triangulaire inférieure est nulle et que les éléments de la diagonale principale sont tous égaux à 1.

Explication des méthodes

Déterminant d'une matrice 3x3 selon la règle de Sarrus

Le déterminant est calculé comme suit par la règle de Sarrus. Schématiquement, on répète les deux premières colonnes du déterminant de façon à ce que les diagonales majeures et mineures puissent être virtuellement reliées par une ligne linéaire. Ensuite on fait les produits des éléments de la diagonale principale et on additionne ces produits. Avec les diagonales secondaires, on fait de même. La différence entre les deux donne le déterminant de la matrice.

Théorème d'expansion de Laplace

Le théorème de développement du laplacien fournit une méthode de calcul du déterminant, dans laquelle le déterminant est développé après une ligne ou une colonne. La dimension est réduite et peut être réduite encore étape par étape jusqu'à un scalaire.

$\mathrm{det\; A}=\sum _{i=1}^n{-1}^{i+j}\cdot a_{ij}\det A_{ij}\text{( Expansion sur la j-ème colonne )}$

$\mathrm{det\; A}=\sum _{j=1}^n{-1}^{i+j}\cdot a_{ij}\det A_{ij}\text{( Expansion sur la i-ème ligne )}$

où A_ij, la sous-matrice de A, qui apparaît lorsque la i-ème ligne et la j-ème colonne sont supprimées.

Exemple de l'expansion de Laplace selon la première ligne sur une matrice 3x3.

$\mathrm{det\; A}=\left|\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\end{array}\right|$

Le premier élément est donné par le facteur a₁₁ et le sous-déterminant constitué des éléments à fond vert.

$\left|\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\end{array}\right|=>a_{11}\left|\begin{array}{cc}{a}_{22}& a_{23}\\ a_{32}& a_{33}\end{array}\right|$

Le deuxième élément est donné par le facteur a₁₂ et le sous-déterminant constitué des éléments à fond vert.

$\left|\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\end{array}\right|=>a_{12}\left|\begin{array}{cc}{a}_{21}& a_{23}\\ a_{31}& a_{33}\end{array}\right|$

Le troisième élément est donné par le facteur a₁₃ et le sous-déterminant constitué des éléments à fond vert.

$\left|\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\end{array}\right|=>a_{13}\left|\begin{array}{cc}{a}_{21}& a_{22}\\ a_{31}& a_{32}\end{array}\right|$

Avec les trois éléments, le déterminant peut être écrit comme une somme de 2x2 déterminants.

$\mathrm{det\; A}=\left|\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\end{array}\right|=a_{11}\left|\begin{array}{cc}{a}_{22}& a_{23}\\ a_{32}& a_{33}\end{array}\right|-a_{12}\left|\begin{array}{cc}{a}_{21}& a_{23}\\ a_{31}& a_{33}\end{array}\right|+a_{13}\left|\begin{array}{cc}{a}_{21}& a_{22}\\ a_{31}& a_{32}\end{array}\right|$

Il est important de considérer que le signe des éléments alterne de la manière suivante.

$\left|\begin{array}{ccc}+& -& +\\ -& +& -\\ +& -& +\end{array}\right|$

Méthode de Gauss

Avec la méthode de Gauss, le déterminant est transformé de telle sorte que les éléments de la matrice triangulaire inférieure deviennent nuls. Pour ce faire, on utilise les règles du facteur de rang et l'addition de rangs. L'addition de rangées ne change pas la valeur du déterminant. Les facteurs d'une ligne doivent être considérés comme des multiplicateurs avant le déterminat. Si le déterminat est triangulaire et que les éléments de la diagonale principale sont égaux à un, le facteur avant le déterminat correspond à la valeur du déterminat lui-même.

$\mathrm{det\; A}=\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \dots & a_{1n}\\ a_{j1}& a_{j2}& \dots & a_{jn}\\ & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \dots & a_{nn}\end{array}\right|=\lambda \left|\begin{array}{cccc}1& a_{12}& \dots & a_{1n}\\ 0& 1& \dots & a_{jn}\\ & ⋮\\ 0& 0& \dots & 1\end{array}\right|=\lambda \mathrm{det\; A\text{'}}=\lambda$

Autres calculatrices

Voici une liste d'autres calculatrices utiles:

Contenu du site

Matrices / Déterminants

Déterminant 3x3 Déterminant 4x4 Déterminant 5x5 Déterminant NxN Matrice inverse Matrice vecteur produit Valeurs propres Calculs de matrices Adjugé Matrice-NxN Multiplication matricielle Addition-soustraction matricielle