Calculatrice pour les déterminants 5x5

Calculatrice en ligne pour le déterminant 5x5

La calculatrice en ligne calcule la valeur du déterminant d'une matrice 5x5 avec le développement de Laplace en ligne ou en colonne et l'algorithme gaussien.

Déterminant 5x5

$\mathrm{det\; A}=\left|\begin{array}{ccccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}& a_{14}& a_{15}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}& a_{24}& a_{25}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}& a_{34}& a_{35}\\ a_{41}& a_{42}& a_{43}& a_{44}& a_{45}\\ a_{51}& a_{52}& a_{53}& a_{54}& a_{55}\end{array}\right|$

Entrez les coefficients

a₁₁=

a₁₂=

a₁₃=

a₁₄=

a₁₅=

a₂₁=

a₂₂=

a₂₃=

a₂₄=

a₂₅=

a₃₁=

a₃₂=

a₃₃=

a₃₄=

a₃₅=

a₄₁=

a₄₂=

a₄₃=

a₄₄=

a₄₅=

a₅₁=

a₅₂=

a₅₃=

a₅₄=

a₅₅=

Calcul de la valeur du déterminant avec l'expansion de Laplace

Vous pouvez sélectionner la ligne ou la colonne à utiliser pour l'expansion.

Calcul avec l'algorithme de Gauss

Note:

Si les coefficients de tête sont nuls, les colonnes ou les lignes doivent être permutées en conséquence, de sorte qu'une division par le coefficient de tête soit possible. La valeur du déterminant est correcte si, après les transformations, la matrice triangulaire inférieure est nulle et que les éléments de la diagonale principale sont tous égaux à 1.

Explication des méthodes

Théorème d'expansion de Laplace

Le théorème de développement du laplacien fournit une méthode de calcul du déterminant, dans laquelle le déterminant est développé après une ligne ou une colonne. La dimension est réduite et peut être réduite encore étape par étape jusqu'à un scalaire.

$\mathrm{det\; A}=\sum _{i=1}^n{-1}^{i+j}\cdot a_{ij}\det A_{ij}\text{( Expansion on the j-th column )}$

$\mathrm{det\; A}=\sum _{j=1}^n{-1}^{i+j}\cdot a_{ij}\det A_{ij}\text{( Expansion sur la i-ème ligne )}$

où A_ij, la sous-matrice de A, qui apparaît lorsque la i-ème ligne et la j-ème colonne sont supprimées.

Exemple de l'expansion de Laplace selon la première ligne sur une matrice 3x3.

$\mathrm{det\; A}=\left|\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\end{array}\right|$

Le premier élément est donné par le facteur a₁₁ et le sous-déterminant constitué des éléments à fond vert.

$\left|\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\end{array}\right|=>a_{11}\left|\begin{array}{cc}{a}_{22}& a_{23}\\ a_{32}& a_{33}\end{array}\right|$

Le deuxième élément est donné par le facteur a₁₂ et le sous-déterminant constitué des éléments à fond vert.

$\left|\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\end{array}\right|=>a_{12}\left|\begin{array}{cc}{a}_{21}& a_{23}\\ a_{31}& a_{33}\end{array}\right|$

The third element is given by the factor a₁₃ and the sub-determinant consisting of the elements with green background.

$\left|\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\end{array}\right|=>a_{13}\left|\begin{array}{cc}{a}_{21}& a_{22}\\ a_{31}& a_{32}\end{array}\right|$

Avec les trois éléments, le déterminant peut être écrit comme une somme de 2x2 déterminants.

$\mathrm{det\; A}=\left|\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\end{array}\right|=a_{11}\left|\begin{array}{cc}{a}_{22}& a_{23}\\ a_{32}& a_{33}\end{array}\right|-a_{12}\left|\begin{array}{cc}{a}_{21}& a_{23}\\ a_{31}& a_{33}\end{array}\right|+a_{13}\left|\begin{array}{cc}{a}_{21}& a_{22}\\ a_{31}& a_{32}\end{array}\right|$

Il est important de considérer que le signe des éléments alterne de la manière suivante.

$\left|\begin{array}{ccc}+& -& +\\ -& +& -\\ +& -& +\end{array}\right|$

Méthode de Gauss

Avec la méthode de Gauss, le déterminant est transformé de telle sorte que les éléments de la matrice triangulaire inférieure deviennent nuls. Pour ce faire, on utilise les règles du facteur de rang et l'addition de rangs. L'addition de rangées ne change pas la valeur du déterminant. Les facteurs d'une ligne doivent être considérés comme des multiplicateurs avant le déterminat. Si le déterminat est triangulaire et que les éléments de la diagonale principale sont égaux à un, le facteur avant le déterminat correspond à la valeur du déterminat lui-même.

$\mathrm{det\; A}=\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \dots & a_{1n}\\ a_{j1}& a_{j2}& \dots & a_{jn}\\ & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \dots & a_{nn}\end{array}\right|=\lambda \left|\begin{array}{cccc}1& a_{12}& \dots & a_{1n}\\ 0& 1& \dots & a_{jn}\\ & ⋮\\ 0& 0& \dots & 1\end{array}\right|=\lambda \mathrm{det\; A\text{'}}=\lambda$

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Matrices / Déterminants

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