Calcolatrice online di trigonometria

Calcolatrice per triangolo rettangolo

I lati o gli angoli sono mostrati nelle illustrazioni in colore rosso sono calcolati dalla calcolatrice dai lati e dagli angoli mostrati in colore verde.

Angolo e cateto opposto

α in grado =

a =

Angolo e cateto adiacente

α in grado =

b =

Angolo e ipotenusa

α in grado =

c =

Cathetus

a =

b =

Cateto e ipotenusa

b =

c =

Calcolatrice per triangoli generali

Due lati e un angolo

γ in grado =

a =

b =

Due angoli e un lato

γ in grado =

β in grado =

c =

Tre lati

a =

b =

c =

Esempi di calcolo trigonometrico

Ecco alcuni esempi che illustrano l'applicazione delle formule trigonometriche.

Esempio: Calcolo dell'altezza della torre

L'esempio mostra come un'altezza può essere determinata, anche se l'accesso diretto non è possibile.

La figura mostra che gli angoli di osservazione (α, γ) e la distanza b delle posizioni sono stati determinati da due posizioni (P₁, P₂) (verde nell'illustrazione).

Un triangolo è formato da P₁, P₂, e la punta della torre. Da questo triangolo generale, l'angolo &alfa; e il lato b sono noti. L'angolo γ può essere calcolato come segue:

$\mathrm{\gamma \text{'}}=180-\mathrm{\gamma }$

L'angolo ancora mancante β può essere determinato, poiché la somma angolare nel triangolo è 180°.

$\beta =180-\mathrm{\alpha }-\mathrm{\gamma \text{'}}=\mathrm{\gamma }-\mathrm{\alpha }$

Nel passo successivo, l'insieme del seno è usato per calcolare il lato a. Il lato a è un lato comune al triangolo generale e al triangolo rettangolo formato da a e dall'altezza della torre e dalla linea di base.

$a=\sin \left(\alpha \right)\frac{b}{\sin \left(\beta \right)}=b\frac{\sin \left(\alpha \right)}{\sin \left(\gamma -\alpha \right)}$

Nel triangolo rettangolo, a è l'ipotenusa e h è la gamba opposta dell'angolo γ. L'altezza desiderata h può quindi essere calcolata con la funzione angolare.

$h=a\sin \left(\gamma \right)=b\frac{\sin \left(\alpha \right)\sin \left(\gamma \right)}{\sin \left(\gamma -\alpha \right)}$

In alternativa, l'altezza della torre può anche essere calcolata applicando due equazioni per il triangolo rettangolo. Il primo triangolo è composto da P₁ e dalla base della torre così come dalla punta della torre. Il secondo analogo in uscita di P₂.

È:

$\tan \gamma =\frac{h}{x}$

e

$\tan \alpha =\frac{h}{b+x}$

con la distanza sconosciuta x da P₂ al punto base della torre.

Modellare le equazioni risulta in ogni caso:

$x=\frac{h}{\tan \gamma }$

e

$x=\frac{h-b\tan \alpha }{\tan \alpha }$

Equalizzando le equazioni e risolvendo per h si ottiene la soluzione:

$h=b\frac{\tan \alpha \tan \gamma }{\tan \gamma -\tan \alpha }$

Le due soluzioni per h sono equivalenti possono essere facilmente dimostrate con la sostituzione di

$\tan \left(\alpha \right)=\frac{\sin \left(\alpha \right)}{\cos \left(\alpha \right)}$

e

$\tan \left(\gamma \right)=\frac{\sin \left(\gamma \right)}{\cos \left(\gamma \right)}$

$h=b\frac{\tan \alpha \tan \gamma }{\tan \gamma -\tan \alpha }=b\frac{\sin \alpha \sin \gamma }{\sin \gamma \cos \alpha -\sin \alpha \cos \gamma }$

Con il teorema dell'addizione

$\sin \left(x\pm y\right)=\sin \left(x\right)\cos \left(y\right)\pm \cos \left(x\right)\sin \left(y\right)$

i risultati della soluzione di cui sopra.

È

$h=b\frac{\tan \alpha \tan \gamma }{\tan \gamma -\tan \alpha }=b\frac{\sin \left(\alpha \right)\sin \left(\gamma \right)}{\sin \left(\gamma -\alpha \right)}$

Esempio: Cuscinetto a croce

Un punto fisso (per esempio, un faro) da due posizioni è puntato sul cuscinetto trasversale. Una rotta costante e una velocità costante sono applicate tra i due cuscinetti (P₁, P₂). Quindi la distanza dal punto di destinazione può essere determinata dai cuscinetti.

La figura mostra che gli angoli di osservazione (α, γ) relativi alla direzione di marcia sono stati determinati in due posizioni (P₁, P₂) (in verde nella figura). La lunghezza del lato b si ottiene dalla velocità v e dall'intervallo di tempo t delle misurazioni.

Un triangolo è formato da P₁, P₂ e il punto di destinazione (faro). Da questo triangolo generale, l'angolo &alfa; e il lato b = v * t sono noti.

L'angolo β ancora mancante può essere determinato, poiché la somma angolare nel triangolo è 180°.

$\beta =180-\mathrm{\alpha }-\mathrm{\gamma }$

Nel passo successivo, la regola del seno è usata per calcolare il lato a. Il lato a è la distanza dal punto di misura P₁.

$a=\sin \left(\alpha \right)\frac{b}{\sin \left(\beta \right)}$

La distanza dal secondo punto di misurazione è calcolata in modo analogo.

$c=\sin \left(\gamma \right)\frac{a}{\sin \left(\alpha \right)}$

Esempio: Misurazione di un percorso inaccessibile (compito di Hansen)

Per misurare un percorso inaccessibile, l'inizio e la fine del percorso sono determinati da due punti (P₁, P₂).

La figura mostra che gli angoli di vista (α, β, γ, δ) in due posizioni (P₁, P₂) relative all'asse di collegamento dei punti (verde nella figura). Anche la distanza a dei punti di misura è nota. La lunghezza della distanza inaccessibile d (rossa nella figura) deve essere determinata.

La figura mostra i valori blu da calcolare.

L'angolo η può essere determinato, poiché la somma angolare nel triangolo è 180°.

$\eta =180-\mathrm{\alpha }-\mathrm{\gamma }$

Nel passo successivo, la regola del seno è usata per calcolare il lato c.

$c=a\frac{\sin \left(\gamma \right)}{\sin \left(\eta \right)}$

Anche il lato e viene calcolato con la regola del seno.

$e=a\frac{\sin \left(\delta \right)}{\sin \left(\rho \right)}$

L'angolo ρ risulta dalla somma degli angoli in un triangolo.

$\rho =180-\mathrm{\beta }-\mathrm{\delta }$

La regola del coseno può ora essere usata per calcolare la distanza necessaria d.

$d^2=a^2+c^2-2ac\cos \left(\alpha -\beta \right)$

Esempio: Triangolo di forze sul pendolo

La decomposizione delle forze in componenti ortogonali gioca un ruolo importante in meccanica. Questo esempio mostra come la forza peso può essere decomposta in due componenti per mezzo delle funzioni angolari.

La figura mostra un pendolo a filo con una massa all'estremità del filo. La forza peso F _g deve essere scomposta in forze parziali. La forza nella direzione del filo F _Z non contribuisce all'accelerazione e la forza F _a è quindi rilevante per l'equazione del moto.

Le forze parziali possono essere specificate direttamente per mezzo delle funzioni angolari, poiché sono un triangolo rettangolo.

$F_a=F_g\sin \left(\alpha \right)$

$F_Z=F_g\cos \left(\alpha \right)$

Trigonometria generale

Il compito fondamentale della Trigonometria è (ecc. Lunghezze dei lati, dimensioni degli angoli, lunghezze dei triangoli-trasversali) da calcolare da tre dimensioni di un dato triangolo altre dimensioni di questo triangolo. Come aiuto alle funzioni trigonometriche seno (sin), coseno (cos), tangente (tan), cotangente (cot). Precursore della trigonometria c'era già durante l'antichità nella matematica greca. Aristarco di Samo sfruttò le proprietà dei triangoli rettangoli per calcolare le relazioni di distanza tra la terra e il sole e la luna.

Triangolo ad angolo retto

Definizioni

I lati a e b del triangolo rettangolo, che includono l'angolo retto sono il cateto. L'angolo retto opposto al lato c è l'ipotenusa. Guardando l'angolo α il lato a è il lato adiacente e il lato opposto b.

Funzioni trigonometriche

$\sin \left(\alpha \right)=\cos \left(\beta \right)=\frac{a}{c}$

$\cos \left(\alpha \right)=\sin \left(\beta \right)=\frac{b}{c}$

$\tan \left(\alpha \right)=\cot \left(\beta \right)=\frac{a}{b}$

Gradi / Radianti

L'angolo può essere specificato in gradi (deg) o radianti (rad). Il cerchio completo in grado è 360 gradi, in radianti è 2π. Di conseguenza, si applicano le seguenti conversioni.

$\text{Angolo (rad)}=\frac{\pi }{180}\text{Angle (deg)}$

$\text{Angolo (deg)}=\frac{180}{\pi }\text{Angle (rad)}$

Somme des angles

La somme des angles d'un triangle est égale à 180°. On applique donc dans le triangle rectangle la relation suivante pour l'angle.

$90=\alpha +\beta$

Triangolo generale

Definizioni

Essenziali per i calcoli nel triangolo generale sono la legge del coseno e del seno e la relazione delle funzioni trigonometriche.

Legge del seno

$\frac{a}{\sin \left(\alpha \right)}=\frac{b}{\sin \left(\beta \right)}=\frac{c}{\sin \left(\gamma \right)}$

Legge del coseno

$a^2=b^2+c^2-2bc\cos \left(\alpha \right)$

$b^2=a^2+c^2-2ac\cos \left(\beta \right)$

$c^2=a^2+b^2-2ab\cos \left(\gamma \right)$

Legge di proiezione

$c=a\cdot \cos \left(\beta \right)+b\cdot \cos \left(\alpha \right)$

Formula della tangente

$\tan \left(\gamma \right)$$=\frac{c\cdot \sin \left(\alpha \right)}{b-c\cdot \cos \left(\alpha \right)}$$=\frac{c\cdot \sin \left(\beta \right)}{a-c\cdot \cos \left(\beta \right)}$

Somma degli angoli

La somma degli angoli di un triangolo è di 180°.

$180=\alpha +\beta +\gamma$

Circonferenza r

$r=\frac{s}{4\cdot \cos \left(\frac{\alpha }{2}\right)\cdot \cos \left(\frac{\beta }{2}\right)\cdot \cos \left(\frac{\gamma }{2}\right)}$

con

$s=\frac{1}{2}\left(a+b+c\right)$

Raggio del cerchio inscritto ρ

$\rho =\sqrt{\frac{\left(s-a\right)\left(s-b\right)\left(s-c\right)}{s}}$

Altezza h_c su c

$h_c=a\cdot \sin \left(\beta \right)=b\cdot \sin \left(\alpha \right)$

Area A

$A=\frac{1}{2}a\cdot b\cdot \sin \left(\gamma \right)$

Formula dell'area Heronische

$A=\rho s=\sqrt{s\left(s-a\right)\left(s-b\right)\left(s-c\right)}$

Proprietà delle funzioni trigonometriche

Formule di riduzione (in grado)

$\sin \left(\mathrm{90°}+x\right)=\cos \left(x\right)$

$\cos \left(\mathrm{90°}+x\right)=-\sin \left(x\right)$

$\tan \left(\mathrm{90°}+x\right)=-\cot \left(x\right)$

$\cot \left(\mathrm{90°}+x\right)=-\tan \left(x\right)$

$\sin \left(\mathrm{180°}+x\right)=-\sin \left(x\right)$

$\cos \left(\mathrm{180°}+x\right)=-\cos \left(x\right)$

$\tan \left(\mathrm{180°}+x\right)=\tan \left(x\right)$

$\cot \left(\mathrm{180°}+x\right)=\cot \left(x\right)$

Funzioni trigonometriche con argomenti uguali

${\sin \left(x\right)}^2+{\cos \left(x\right)}^2=1$

$\tan \left(x\right)=\frac{\sin \left(x\right)}{\cos \left(x\right)}$

Teorema di addizione delle funzioni trigonometriche

$\sin \left(x\pm y\right)=\sin \left(x\right)\cos \left(y\right)\pm \cos \left(x\right)\sin \left(y\right)$

$\cos \left(x\pm y\right)=\cos \left(x\right)\cos \left(y\right)\mp \sin \left(x\right)\sin \left(y\right)$

$\tan \left(x\pm y\right)=\frac{\tan \left(x\right)\pm \tan \left(y\right)}{1\mp \tan \left(x\right)\tan \left(y\right)}$

Altre calcolatrici

Qui c'è una lista di altre calcolatrici utili:

Derivati

Calcolatore di derivati Derivata e funzione Derivata radice Derivata sin cos tan Derivata sinh cosh tanh Gradiente Tabella dei derivati

Sistemi di equazioni

Calcolatrice per sistemi di equazioni lineari 2x2 Calcolatrice per sistemi di equazioni lineari 3x3 Calcolatrice della regola di Cramer NxN Risolutore di eleminazione gaussiana NxN

Trigonometria

Tabelle di trigonometria Calcolatrice per potenze e n volte argomenti di seno e coseno.htm Calcolatrice triangolo

Numeri complessi

Calcolatrice di numeri complessi Divisione numeri complessi Moltiplicazione numeri complessi Addizione numeri complessi Numeri complessi grafici