Cálculo de derivadas

Calculadora de derivados

Campo de entrada para la función a derivar:

f(x) =

clear
Plot
Pos1
End
Derivado ddxf(x)
siguiente Derivada dndxnf(x)
7
8
9
/
Δ
x
4
5
6
*
Ω
a
b
c
1
2
3
-
μ
π
(
)
0
.
+
ω
sin
cos
tan
ex
ln(x)
xa
^
σ
asin
acos
atan
x2
x
x3
x4
()()
δ
sinh
cosh
ax+cbx+c
a+xb+x
x2-a2x2+a2
1a+bx
1+x1-x
x+a
eax
ex
1ax
sin(x)cos(x)
exsin(x)cos(x)
1sin
1cos
1tan
ex
ae-bx2+c
eax
aebx+c
eax2
1eax
xex
asin(bx+c)
acos(bx+c)
atan(bx+c)
asin2(bx+c)
ax2+bx+c
FunciónDescripción
sin(x)Seno de x
cos(x)Coseno de x
tan(x)Tangente de x
asin(x)arcoseno de x
acos(x)arccosina de x
atan(x)arctangente de x
atan2(y, x)Devuelve la arctangente del cociente de sus argumentos.
cosh(x)Coseno hiperbólico de x
sinh(x)Seno hiperbólico de x
pow(a, b)Potencia ab
sqrt(x)Raíz cuadrada de x
exp(x)Potencia e al x
log(x), ln(x)Logaritmo natural
log(x, b)Logaritmo en base b
log2(x), lb(x)Logaritmo en base 2
log10(x), ld(x)Logaritmo en base 10
más ...

Notación para la diferenciación

Para la diferenciación existen diferentes notaciones habituales con el mismo significado. La utilidad de cada notación varía según el contexto. A continuación se enumeran las notaciones más habituales para la diferenciación de Leibnitz, Euler, Lagrange y Newton.

Notación de Leibnitz para la diferenciación

La derivada en notación de Leibnitz de una función f respecto a la variable x viene dada de la siguiente manera.

d d x f ( x ) = d f d x ( x ) = d f ( x ) d x

También es habitual la configuración y = f(x) con la notación de la derivada como sigue.

d y d x

Las derivadas segunda, tercera y superior se escriben como sigue.

d 2 y d x 2 ; d 3 y d x 3 ; . . . ; d n y d x n ;

Notación de Lagrange para la diferenciación

La primera derivada en notación de Lagrange viene dada por un ' en la función.

f ( x )

Las derivadas superiores en notación de Lagrange se dan como sigue.

f ( x ) ; f ( x ) ; f ( 4 ) ( x ) ; . . . ; f ( n ) ( x )

Notación de Euler para la diferenciación

Euler utiliza el operador D para la derivada.

D f = d d x f ( x )

Notación Newton para la diferenciación

La notación de Newton también se llama notación de puntos. La notación utiliza puntos para anotar las derivadas. Esta notación se utiliza para las funciones que dependen del tiempo t.

f ˙ ( t ) = d f d t

Las derivadas superiores en notación Newton se dan como sigue.

f ¨ ( t ) = d 2 f d t 2 ; f ( t ) = d 3 f d t 3

Derivados básicos

d d x Const. = 0

d d x x = 1

d d x xn = nxn-1

d d x 1x =- 1x2

d d x 1xn =- nxn+1

d d x ax = axlna

d d x akx = akxklna

d d x a x + c b x + c = c ( a - b ) ( b x + c ) 2

d d x 1 a + b x = -b ( a + b x ) 2

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Derivadas de funciones trigonométricas

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Derivadas de funciones exponenciales y logarítmicas

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Derivadas de funciones raíz

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enésimas derivadas

Reglas de derivación

A continuación, se describen y explican con ejemplos las reglas de derivación más importantes.

  • Regla del factor: Se mantiene un factor constante cuando se diferencia
  • Regla de la suma: Regla para la derivación de una suma
  • Regla de los productos: Regla para la derivación de productos
  • Regla del cociente: Regla para la derivación de cocientes
  • Regla de la cadena: Regla para la derivación de funciones anidadas

Normas de derivación en resumen

Regla del factor: Se conserva un factor constante al diferenciar

( af ) = af

Regla de la suma: Al derivar una suma, los sumandos pueden derivarse individualmente

( f1 + f2 ) = f1 + f2

Regla de producto: Regla para derivar productos

( uv ) = uv + uv

Regla del cociente: Regla para derivar fracciones

( u v ) = uv-uv v2

Regla de la cadena: Las funciones anidadas se fusionan en un producto de las derivadas cuando se diferencian.

( f(g(x)) ) = f(g)g(x)

Regla del factor y de la suma

d d x f ( x ) = d d x ( a 1 f 1 ( x ) + a 2 f 2 ( x ) ) = d d x a 1 f 1 ( x ) + d d x a 2 f 2 ( x ) = a 1 d d x f 1 ( x ) + a 2 d d x f 2 ( x )

La regla de la suma establece que los elementos de la suma pueden diferenciarse individualmente.

Derivación de los sumandos

d d x ( f1(x) + f2(x) ) = d d x f1(x) + d d x f2(x)

La regla del factor establece que los factores constantes se conservan durante la derivación.

El factor constante a se mantiene al derivar

d d x ( a f(x) ) = a d d x f(x)

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Ejemplo de aplicación de la regla del factor y la suma (abierto por selección)

La función de ejemplo contiene factores de suma y constantes. Para diferenciar, se aplican ambas reglas.

En el primer paso, se aplica la regla de la suma. En el segundo paso, la regla del factor en cada sumando y finalmente deriva los términos individuales, la derivada de la función.

Regla del producto

d d x f ( x ) = d d x ( u ( x ) v ( x ) ) = v ( x ) d d x u ( x ) + u ( x ) d d x v ( x ) = u ( x ) v ( x ) + u ( x ) v ( x )

La regla del producto especifica cómo tratar el producto de dos funciones cuando se diferencian. En palabras, la regla del producto puede expresarse como sigue Derivación de la primera función por la segunda función más la primera función por la derivación de la segunda función.

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Ejemplos de aplicación de la regla del producto (abierto por selección)

He aquí algunos ejemplos de aplicación de la regla del producto.

Ejemplo de regla de producto 1

En el primer ejemplo, la regla del producto se explica utilizando una función que consiste en el producto de las funciones seno y coseno. La derivada se realiza según la regla del producto, de modo que la derivada del primer factor se multiplica por el segundo factor y se suma a la derivada del segundo factor multiplicada por el primero.

Ejemplo de regla de producto 2

En el segundo ejemplo, la regla del producto se explica mediante una función que consiste en el producto de las funciones exponencial y seno.

La derivación se realiza según la regla del producto como en el primer ejemplo, sólo que aquí el primer factor es la función e y el segundo es la función seno.

Ejemplo de regla de producto 3

En el tercer ejemplo, la regla del producto se explica mediante una función que consiste en el producto de tres funciones.

Si un producto se compone de más de dos funciones, la regla del producto puede utilizarse sucesivamente combinando las funciones según sea necesario y aplicando la regla del producto varias veces seguidas.

Mediante el paréntesis correspondiente se obtiene de nuevo un producto de dos factores sobre el que se puede aplicar la regla del producto. Aquí en el ejemplo seguimos con la primera variante.

Regla del cociente

d d x f ( x ) = d d x u ( x ) v ( x ) = v ( x ) d d x u ( x ) u ( x ) d d x v ( x ) v 2 ( x ) = u ( x ) v ( x ) u ( x ) v ( x ) v 2

La regla del cociente especifica cómo tratar el cociente de dos funciones cuando se diferencian.

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Ejemplo de aplicación de la regla del cociente (abierto por selección)

Como ejemplo de aplicación de la regla del cociente, se utiliza el cociente de la función seno y coseno. La aplicación es similar a la regla del producto. El papel de los factores toma aquí cada numerador y denominador de la ruptura.

Regla de la cadena

d d x f ( g ( x ) ) = d d x g ( x ) d d g f ( g ) = g ( x ) f ( g )

La regla de la cadena especifica cómo deben tratarse las funciones anidadas cuando se diferencian. Se distingue entre la función interna y la función externa. Así, la regla de la cadena puede formularse como sigue: la derivada es la derivada de la función interna por la derivada de la función externa. En la derivación de la función exterior, la función interior en su conjunto se considera variable. Que no está diferenciada por x sino por la función interna g.

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Ejemplos de aplicación de la regla de la cadena (abierta por selección)

He aquí algunos ejemplos de aplicación de la regla de la cadena. En el primer ejemplo, la función seno está en el exponente de la función e. Por tanto, la función seno es la función interna g. El segundo ejemplo muestra cómo diferenciar una función potencia. En el tercer ejemplo, una función cuadrática está dentro de una función trigonométrica.

Uso mixto

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Ejemplos del uso mixto de las reglas de derivación (abierto por selección)

He aquí algunos ejemplos del uso mixto de las reglas de derivación. El primer ejemplo utiliza las reglas del producto y del cociente. El segundo ejemplo muestra el uso de la regla del producto y de la cadena. El tercer ejemplo utiliza las reglas de suma, factor y cadena.

Diferenciar los vectores

Los vectores se diferenciarán por derivación todos los componentes del vector.

d d t f ( t ) = ( d d t f 1 ( t ) d d t f 2 ( t ) d d t f n ( t ) )

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Ejemplo de diferenciación de una función vectorial

En el siguiente ejemplo, se da la derivada de una función vectorial utilizando la representación de parámetros de una curva tridimensional.

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Reglas para diferenciar funciones vectoriales

A continuación se dan algunas reglas para la diferenciación de funciones vectoriales. Entre ellas también la derivación del producto cruzado y del producto escalar de funciones vectoriales. f denota una función escalar. En el producto cruzado no se pueden intercambiar los factores.

Derivados parciales

Para las funciones con más de una variable la derivada a una de las variables se llama derivada parcial.

Para una función con la variable x y varias variables más, la derivada parcial hacia x se anota de la siguiente manera.

x f ( x , y , . . . )

Para la derivación parcial, las demás variables se tratan como constantes.

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Ejemplo de derivadas parciales

En el siguiente ejemplo, la derivada de una función de x, y y z se deriva parcialmente en función de cada una de las variables.

Gradiente

Un gradiente es un vector cuyas componentes son las derivadas parciales de una función f. Hay dos nombres comunes para el gradiente. Uno es grad(f) y el otro utiliza el operador diferencial nabla ∇.

g r a d ( f ) = f = ( f x 1 f x 2 f x n )

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Reglas de cálculo de los gradientes

Las siguientes reglas de cálculo se aplican al gradiente.

Derivación implícita

Una función F(x, f(x)) = 0 también puede diferenciarse sin resolver explícitamente la función si existen las derivadas parciales correspondientes.

Si fijamos y = f(x) y, por tanto, F(x, y) = 0 para una notación más clara, entonces la derivada se puede calcular mediante derivadas parciales como sigue.

F ( x , f ( x ) ) = F ( x , y ) = 0

f ( x ) = d y d x = x F ( x , y ) y F ( x , y )

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Ejemplo de derivación implícita

Ejemplo de derivación de una función implícita.