5x5 行列式计算器

行列式在线计算器 5x5

在线计算器可计算 5x5 矩阵的行列式值，并在一行或一列后进行拉普拉斯展开。

决定因素 5x5

$det A = | \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} & a_{15} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} & a_{25} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34} & a_{35} \\ a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44} & a_{45} \\ a_{51} & a_{52} & a_{53} & a_{54} & a_{55} \end{matrix} |$

输入行列式的系数

a₁₁=

a₁₂=

a₁₃=

a₁₄=

a₁₅=

a₂₁=

a₂₂=

a₂₃=

a₂₄=

a₂₅=

a₃₁=

a₃₂=

a₃₃=

a₃₄=

a₃₅=

a₄₁=

a₄₂=

a₄₃=

a₄₄=

a₄₅=

a₅₁=

a₅₂=

a₅₃=

a₅₄=

a₅₅=

拉普拉斯展开计算

拉普拉斯展开是计算行列式的一般方法。计算器根据行或列来展开行列式。行或列可以选择，并用箭头标出。

高斯计算法

备注:

如果前导系数为零，则在使用前必须相应地交换列或行，以便能用前导系数进行除法运算。

拉普拉斯发展定理

拉普拉斯展开定理规定了一种计算行列式的方法，其中行列式按行或列展开。维数被缩小，并可逐渐进一步缩小，直至变成标量。

$det A = \sum_{i = 1}^{n} {-1}^{i + j} \cdot a_{i j} \det A_{i j} ( 根据第 j 栏的发展情况 )$

$det A = \sum_{j = 1}^{n} {-1}^{i + j} \cdot a_{i j} \det A_{i j} ( 第 i 行之后的发展 )$

其中，A_ij 是删除第 i 行和第 j 列时创建的 A 子矩阵。

在第一行之后使用 3x3 矩阵进行拉普拉斯展开的示例

$det A = | \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{matrix} |$

第一个元素是因子 a₁₁，子决定因素由绿色突出显示的元素给出。

$| \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{matrix} | => a_{11} | \begin{matrix} a_{22} & a_{23} \\ a_{32} & a_{33} \end{matrix} |$

第二个元素是系数 a₁₂，以及由绿色标注元素给出的子决定因素。

$| \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{matrix} | => a_{12} | \begin{matrix} a_{21} & a_{23} \\ a_{31} & a_{33} \end{matrix} |$

第三个元素是系数 a₁₃和由绿色标注元素给出的子决定因素。

$| \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{matrix} | => a_{13} | \begin{matrix} a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \end{matrix} |$

有了这三个元素，行列式就可以表示为 2x2 个行列式之和。

$det A = | \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{matrix} | = a_{11} | \begin{matrix} a_{22} & a_{23} \\ a_{32} & a_{33} \end{matrix} | - a_{12} | \begin{matrix} a_{21} & a_{23} \\ a_{31} & a_{33} \end{matrix} | + a_{13} | \begin{matrix} a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \end{matrix} |$

值得注意的是，元素的符号是交替出现的。

$| \begin{matrix} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{matrix} |$

高斯法

高斯方法用于变换行列式，使下三角矩阵的元素变为零。行因子和行相加规则用于此目的。行的相加不会改变行列式的值。在行列式之前必须考虑行的因子作为乘数。如果行列式为三角形，且主对角线元素等于 1，则行列式前面的因子与行列式本身的值相对应。

$det A = | \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ a_{j 1} & a_{j 2} & \dots & a_{j n} \\ ⋮ \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \dots & a_{n n} \end{matrix} | = λ | \begin{matrix} 1 & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ 0 & 1 & \dots & a_{j n} \\ ⋮ \\ 0 & 0 & \dots & 1 \end{matrix} | = λ det A' = λ$