4x4 行列式计算器

在线计算器行列式 4x4

该在线计算器可根据行或列，利用拉普拉斯展开计算 4x4 矩阵的行列式值。

决定因素 4x4

$det A = | \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34} \\ a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44} \end{matrix} |$

输入行列式的系数

拉普拉斯展开计算

拉普拉斯展开是计算行列式的一般方法。计算器根据行或列来展开行列式。行或列可以选择，并用箭头标出。

高斯计算法

注意：如果前导系数为零，则在使用前必须相应地交换列或行，以便能用前导系数进行除法运算。

拉普拉斯发展定理

拉普拉斯展开定理规定了一种计算行列式的方法，其中行列式按行或列展开。维数被缩小，并可逐渐进一步缩小，直至变成标量。

$det A = \sum_{i = 1}^{n} {-1}^{i + j} \cdot a_{i j} \det A_{i j} ( 根据第 j 栏的发展情况 )$

$det A = \sum_{j = 1}^{n} {-1}^{i + j} \cdot a_{i j} \det A_{i j} ( 第 i 行之后的发展 )$

其中，A_ij 是删除第 i 行和第 j 列时创建的 A 的子矩阵。

在第一行之后使用 3x3 矩阵进行拉普拉斯展开的示例

$det A = | \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{matrix} |$

第一个元素是因子 a₁₁，子决定因素由绿色突出显示的元素给出。

$| \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{matrix} | => a_{11} | \begin{matrix} a_{22} & a_{23} \\ a_{32} & a_{33} \end{matrix} |$

第二个元素是系数 a₁₂，以及由绿色标注元素给出的子决定因素。

$| \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{matrix} | => a_{12} | \begin{matrix} a_{21} & a_{23} \\ a_{31} & a_{33} \end{matrix} |$

第三个元素是系数 a₁₃和由绿色标注元素给出的子决定因素。

$| \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{matrix} | => a_{13} | \begin{matrix} a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \end{matrix} |$

有了这三个元素，行列式就可以表示为 2x2 个行列式之和。

$det A = | \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{matrix} | = a_{11} | \begin{matrix} a_{22} & a_{23} \\ a_{32} & a_{33} \end{matrix} | - a_{12} | \begin{matrix} a_{21} & a_{23} \\ a_{31} & a_{33} \end{matrix} | + a_{13} | \begin{matrix} a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \end{matrix} |$

值得注意的是，元素的符号是交替出现的。

$| \begin{matrix} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{matrix} |$

高斯法

高斯算法基于矩阵的等价变换。这些变换包括行交换、行与非零因子相乘以及一行与另一行的倍数相加将矩阵转换为阶梯形式。如果矩阵为对角线形式，且主对角线元素均为 1，则预因子为行列式的值。

$det A = | \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ a_{j 1} & a_{j 2} & \dots & a_{j n} \\ ⋮ \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \dots & a_{n n} \end{matrix} | = λ | \begin{matrix} 1 & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ 0 & 1 & \dots & a_{j n} \\ ⋮ \\ 0 & 0 & \dots & 1 \end{matrix} | = λ det A' = λ$