正态分布（高斯）绘图仪

正态分布或高斯分布（以卡尔-弗里德里希-高斯命名）是随机学中一种重要的连续概率分布。它的概率密度函数也被称为高斯函数、高斯正态分布、高斯分布曲线、高斯曲线、高斯钟形曲线、高斯钟形函数、高斯钟形或简称钟形曲线。

正态分布或高斯分布定义如下

$f (x) = \frac{1}{σ \sqrt{2 π}} e^{- \frac{1}{2} \frac{{(x - μ)}^{2}}{σ^{2}}}$

该密度函数的图形呈 "钟形"，以参数μ为对称中心，也代表了分布的期望值、中位数和模式。

高斯分布函数图

使用图形下部的滑块可以改变高斯分布的参数。可调整的参数范围可在数值字段中指定。可以移动钟形曲线上的红点。根据各点之间的范围计算钟形曲线的积分。由于高斯分布的总面积归一化为 1，因此积分与面积分数相对应。这意味着，例如，如果点设置为±σ，则面积为0.68或总面积的68%。

f(x)

f′(x)

2σ

Area:

积分:

轴范围

x-最小=

x-最大=

y-最小=

y-最大=

参数范围

μ-最小=

μ-最大=

σ-最小=

σ-最大=

μ和σ是正态分布的参数。μ 是正态分布的中心，钟形曲线在这里取最大值。函数的拐点位于对称中心±σ处。

对于正态分布的随机变量，适用以下公式

在平均值μ的±σ偏差范围内，可以找到所有测量值的68.27%。
在平均值μ的±2σ偏差范围内，可以找到所有测量值的95.45%。
在平均值μ的±3σ偏差范围内，可以找到所有测量值的99.73%。

50%的测量值与平均值μ的偏差不超过0.675σ。
90%的测量值与平均值μ的偏差不超过1.645σ。
95%的测量值与平均值μ的偏差不超过1.960σ。
99%的测量值与平均值μ的偏差不超过2.576σ。

高斯分布与测量值的拟合

轴范围

x-最小=

x-最大=

y-最小=

y-最大=

曲线:

积分:

2σ

3σ

50% 区域

另一种输入方式是从文件中加载数据。数值可以用逗号、空格或分号分隔。数值必须成对给出 x₁,y₁,x₂,y₂...

从文件加载：

高斯分布与测量值的曲线拟合是通过计算测量值的加权平均值完成的。加权平均值相当于高斯分布中的μ。测量值与平均值μ的标准偏差是正态分布公式中的σ。

$μ = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i}}{\sum_{i = 1}^{n} y_{i}}$

$σ = \sqrt{\frac{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - μ)}^{2} y_{i}}{\sum_{i = 1}^{n} y_{i}}}$

显示的钟形曲线是拟合高斯分布乘以测量值的面积A。

$f (x) = \frac{A}{σ \sqrt{2 π}} e^{- \frac{1}{2} \frac{{(x - μ)}^{2}}{σ^{2}}}$

面积A通过梯形公式计算。

$A = \sum_{i = 1}^{n - 1} \frac{(x_{i + 1} - x_{i}) (y_{i + 1} + y_{i})}{2}$

图的屏幕截图

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正态分布（高斯）绘图仪

高斯分布函数图

高斯分布与测量值的拟合

图的屏幕截图

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