在线计算器三角学

矩形三角形的计算器

插图中红色的边或角是由计算器根据绿色的边和角计算出来的。

角度和对角线

α 在学位方面 =

a =

角膜和邻近的导管

α 在学位方面 =

b =

角度和斜边

α 在学位方面 =

c =

卡提塔斯

a =

b =

臀部和臀部

b =

c =

一般三角形的计算器

两条边和一个角

γ 在学位方面 =

a =

b =

两个角度和一个侧面

γ 在学位方面 =

β 在学位方面 =

c =

三个方面

a =

b =

c =

三角函数计算的例子

下面是一些说明三角函数公式应用的例子。

例子：计算塔的高度

这个例子表明，即使不可能直接进入，也可以确定一个高度。

图中显示，视角（α，γ）和位置的距离b是由两个位置（P₁，P₂）决定的（插图中为绿色）。

从P₁、P₂和塔尖形成一个三角形。从这个一般的三角形来看，角度&α;和边b是已知的。角度γ可以按以下方式计算：

$\mathrm{\gamma \text{'}}=180-\mathrm{\gamma }$

仍然缺少的角度β可以被确定，因为三角形中的角和是180°。

$\beta =180-\mathrm{\alpha }-\mathrm{\gamma \text{'}}=\mathrm{\gamma }-\mathrm{\alpha }$

在下一步，正弦集被用来计算边a。边a是一般三角形和由a和塔的高度及基线组成的直角三角形的共同边。

$a=\sin \left(\alpha \right)\frac{b}{\sin \left(\beta \right)}=b\frac{\sin \left(\alpha \right)}{\sin \left(\gamma -\alpha \right)}$

在直角三角形中，a是斜边，h是角γ的对边。因此，所需的高度h可以用角度函数来计算。

$h=a\sin \left(\gamma \right)=b\frac{\sin \left(\alpha \right)\sin \left(\gamma \right)}{\sin \left(\gamma -\alpha \right)}$

另外，塔的高度也可以通过应用直角三角形的两个方程式来计算。第一个三角形是由P₁和塔底以及塔尖组成的。第二个类比出的是P₂。

它是：

$\tan \gamma =\frac{h}{x}$

和

$\tan \alpha =\frac{h}{b+x}$

与从P₂到塔的基点的未知距离x。

在每一种情况下，重塑方程的结果：

$x=\frac{h}{\tan \gamma }$

和

$x=\frac{h-b\tan \alpha }{\tan \alpha }$

将方程相等并求出h，就可以得到解决方案：

$h=b\frac{\tan \alpha \tan \gamma }{\tan \gamma -\tan \alpha }$

h的两个解决方案是等价的，可以很容易地证明，将

$\tan \left(\alpha \right)=\frac{\sin \left(\alpha \right)}{\cos \left(\alpha \right)}$

和

$\tan \left(\gamma \right)=\frac{\sin \left(\gamma \right)}{\cos \left(\gamma \right)}$

$h=b\frac{\tan \alpha \tan \gamma }{\tan \gamma -\tan \alpha }=b\frac{\sin \alpha \sin \gamma }{\sin \gamma \cos \alpha -\sin \alpha \cos \gamma }$

有了加法定理

$\sin \left(x\pm y\right)=\sin \left(x\right)\cos \left(y\right)\pm \cos \left(x\right)\sin \left(y\right)$

上述解决方案的结果。

它是

$h=b\frac{\tan \alpha \tan \gamma }{\tan \gamma -\tan \alpha }=b\frac{\sin \left(\alpha \right)\sin \left(\gamma \right)}{\sin \left(\gamma -\alpha \right)}$

例子：交叉轴承

一个固定的点（例如灯塔）从两个位置被锁定在交叉轴承上。在这两个方位之间采用恒定的航线和恒定的速度（P₁，P₂）。然后可以从方位上确定与目标点的距离。

图中显示，在两个位置（P₁，P₂）确定了相对于行进方向的观察角（α，γ）（图中为绿色）。边长b是由速度v和测量的时间间隔t得到的。

从P₁、P₂和目标点（灯塔）形成一个三角形。从这个一般的三角形中，已知角度&α;和边b=v*t。

仍然缺少的角度β可以被确定，因为三角形中的角和是180°。

$\beta =180-\mathrm{\alpha }-\mathrm{\gamma }$

在下一步，正弦规则被用来计算边a。边a是与测量点P₁的距离。

$a=\sin \left(\alpha \right)\frac{b}{\sin \left(\beta \right)}$

到第二个测量点的距离是以类似方式计算的。

$c=\sin \left(\gamma \right)\frac{a}{\sin \left(\alpha \right)}$

例子：测量一条无法进入的路线（汉森的任务）。

为了测量一条无法到达的路线，路线的起点和终点是由两个点（P₁，P₂）决定。

图中显示，在两个位置（P₁，P₂）相对于点的连接轴（图中绿色）的视角（α，β，γ，δ）。测量点的距离a也是已知的。不可触及的距离d（图中红色）的长度要确定。

图中显示了要计算的蓝色数值。

角度η可以确定，因为三角形中的角度之和是180°。

$\eta =180-\mathrm{\alpha }-\mathrm{\gamma }$

在下一步，正弦规则被用来计算边长c。

$c=a\frac{\sin \left(\gamma \right)}{\sin \left(\eta \right)}$

边上的e也是用正弦规则计算的。

$e=a\frac{\sin \left(\delta \right)}{\sin \left(\rho \right)}$

角度ρ是由三角形中的角度之和产生的。

$\rho =180-\mathrm{\beta }-\mathrm{\delta }$

现在可以用余弦法则来计算所需的距离d。

$d^2=a^2+c^2-2ac\cos \left(\alpha -\beta \right)$

例子：摆锤上的三角力

力的分解为正交分量在机械学中起着重要的作用。这个例子显示了如何通过角度函数将重力分解成两个分量。

图中显示了一个纱线摆，质量在线的末端。重力F_g将被分解为部分力。在线的方向上的力F_Z对加速度没有贡献，因此力F_a与运动方程有关。

部分力可以直接通过角度函数来指定，因为它们是一个直角三角形。

$F_a=F_g\sin \left(\alpha \right)$

$F_Z=F_g\cos \left(\alpha \right)$

普通三角学

三角学的基本任务是（等边长，角的大小，三角形-横截面的长度），从一个给定的三角形的三个尺寸计算出这个三角形的其他尺寸。作为三角函数正弦（sin）、余弦（cos）、正切（tan）、余切（cot）的辅助。三角学的前身在古代希腊数学中已经存在。萨摩斯的Aristarchus利用直角三角形的特性来计算地球与太阳和月亮之间的距离关系。

直角三角形

定义

直角三角形的边a和b，包括直角在内，是阴角。与直角相对的边c是斜边。把角α看成是边a是邻边，对边b是邻边。

三角函数

$\sin \left(\alpha \right)=\cos \left(\beta \right)=\frac{a}{c}$

$\cos \left(\alpha \right)=\sin \left(\beta \right)=\frac{b}{c}$

$\tan \left(\alpha \right)=\cot \left(\beta \right)=\frac{a}{b}$

度/弧度

角度可以指定为度（deg）或弧度（rad）。全圆的度数是360度，弧度是2π。因此，以下转换适用。

$\text{角度 (rad)}=\frac{\pi }{180}\text{角度 (deg)}$

$\text{角度 (deg)}=\frac{180}{\pi }\text{角度 (rad)}$

角度总和

三角形中各角之和为180°。这在直角三角形中适用以下的角度关系。

$90=\alpha +\beta$

普通三角区

定义

对于一般三角形的计算，必不可少的是余弦和正弦定律以及三角函数的关系。

正弦律

$\frac{a}{\sin \left(\alpha \right)}=\frac{b}{\sin \left(\beta \right)}=\frac{c}{\sin \left(\gamma \right)}$

余弦律

$a^2=b^2+c^2-2bc\cos \left(\alpha \right)$

$b^2=a^2+c^2-2ac\cos \left(\beta \right)$

$c^2=a^2+b^2-2ab\cos \left(\gamma \right)$

投影法

$c=a\cdot \cos \left(\beta \right)+b\cdot \cos \left(\alpha \right)$

切线公式

$\tan \left(\gamma \right)$$=\frac{c\cdot \sin \left(\alpha \right)}{b-c\cdot \cos \left(\alpha \right)}$$=\frac{c\cdot \sin \left(\beta \right)}{a-c\cdot \cos \left(\beta \right)}$

角度总和

三角形中的角之和小于180°。

$180=\alpha +\beta +\gamma$

圆周率 r

$r=\frac{s}{4\cdot \cos \left(\frac{\alpha }{2}\right)\cdot \cos \left(\frac{\beta }{2}\right)\cdot \cos \left(\frac{\gamma }{2}\right)}$

与

$s=\frac{1}{2}\left(a+b+c\right)$

刻画的圆的半径 ρ

$\rho =\sqrt{\frac{\left(s-a\right)\left(s-b\right)\left(s-c\right)}{s}}$

高度 h_c 关于 c

$h_c=a\cdot \sin \left(\beta \right)=b\cdot \sin \left(\alpha \right)$

地区 A

$A=\frac{1}{2}a\cdot b\cdot \sin \left(\gamma \right)$

鹭岛的面积公式

$A=\rho s=\sqrt{s\left(s-a\right)\left(s-b\right)\left(s-c\right)}$

三角函数的属性

还原公式（以度计）

$\sin \left(\mathrm{90°}+x\right)=\cos \left(x\right)$

$\cos \left(\mathrm{90°}+x\right)=-\sin \left(x\right)$

$\tan \left(\mathrm{90°}+x\right)=-\cot \left(x\right)$

$\cot \left(\mathrm{90°}+x\right)=-\tan \left(x\right)$

$\sin \left(\mathrm{180°}+x\right)=-\sin \left(x\right)$

$\cos \left(\mathrm{180°}+x\right)=-\cos \left(x\right)$

$\tan \left(\mathrm{180°}+x\right)=\tan \left(x\right)$

$\cot \left(\mathrm{180°}+x\right)=\cot \left(x\right)$

参数相等的三角函数

${\sin \left(x\right)}^2+{\cos \left(x\right)}^2=1$

$\tan \left(x\right)=\frac{\sin \left(x\right)}{\cos \left(x\right)}$

三角函数的加法定理

$\sin \left(x\pm y\right)=\sin \left(x\right)\cos \left(y\right)\pm \cos \left(x\right)\sin \left(y\right)$

$\cos \left(x\pm y\right)=\cos \left(x\right)\cos \left(y\right)\mp \sin \left(x\right)\sin \left(y\right)$

$\tan \left(x\pm y\right)=\frac{\tan \left(x\right)\pm \tan \left(y\right)}{1\mp \tan \left(x\right)\tan \left(y\right)}$

更多有用的页面

下面你将看到其他有用的网站清单，其中一些是英文的。

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