Autovalori e autovettori delle matrici

Termini:

Un autovettore di una mappatura è un vettore che viene modificato solo nella grandezza ma non nella direzione dalla mappatura. Il fattore per cui la grandezza cambia è l'autovalore associato. L'insieme degli autovalori di un autovalore è chiamato spazio degli autovalori. L'insieme degli autovalori di un'immagine è lo spettro dell'immagine. Il raggio spettrale è l'autovalore con la quantità maggiore. La dimensione dell'eigenspazio è la molteplicità geometrica dell'autovalore. La molteplicità algebrica è definita dalla molteplicità degli zeri del polinomio caratteristico.

Definizione:

Per una matrice quadrata A, ogni vettore v è un autovettore se è soddisfatta la seguente condizione:

$Av=\lambda v$

$\text{con}\lambda \in \mathbb{C}\text{und}v\ne 0$

Il fattore λ è l'autovalore appartenente all'autovalore v. Gli autovalori possono essere reali o complessi.

Interpretazione illustrativa:

In generale, una matrice A mappa un vettore a in un altro vettore b. Gli autovettori v si distinguono per il fatto di essere allungati o compressi solo di un fattore. Nel diagramma il vettore v è un autovettore stirato dal fattore λ. Il vettore a non è un autovettore perché la matrice cambia anche la direzione.

Esempio bidimensionale

Con questo esempio, gli autovalori e gli autovettori sono spiegati chiaramente nel piano.

$A=\left(\begin{array}{cc}3& -1\\ 1& 1\end{array}\right)$

Questa matrice mappa il vettore (1,1) come segue.

$\left(\begin{array}{cc}3& -1\\ 1& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2\\ 2\end{array}\right)=2\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)$

Questo vettore è un autovettore di A, allungato del fattore 2. Pertanto, l'autovalore appartiene all'autovettore (1,1).

Per un altro vettore, ad esempio (2,3), questo non è vero.

$\left(\begin{array}{cc}3& -1\\ 1& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}2\\ 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}3\\ 5\end{array}\right)$

Tuttavia, la matrice non ha un solo autovettore. Ad esempio, anche il vettore (2,2) è un autovettore.

$\left(\begin{array}{cc}3& -1\\ 1& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}2\\ 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}4\\ 4\end{array}\right)=2\left(\begin{array}{c}2\\ 2\end{array}\right)$

Calcolo degli autovalori

L'equazione

$Av=\lambda v$

può essere trasformata nel sistema di equazioni omogenee

$(A-\lambda E)v=0$

Il sistema di equazioni ha una soluzione non banale se e solo se il determinante scompare. Che se applicabile

$\det (A-\lambda E)=0$

Il polinomio è detto polinomio caratteristico di A e l'equazione è l'equazione caratteristica di A. Se λ_i è un autovalore di A, allora le soluzioni dell'equazione caratteristica sono gli autovettori di A all'autovalore λ_i.

Esempio bidimensionale parte 2

Nella seconda parte dell'esempio vengono calcolati autovalori e autovettori. In primo luogo, si determina il polinomio caratteristico.

$\det \left(A-\lambda E\right)=$

$\left(\left(\begin{array}{cc}3& -1\\ 1& 1\end{array}\right)-\mathrm{\lambda }\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)\right)=\left(\begin{array}{cc}3-\lambda & -1\\ 1& 1-\lambda \end{array}\right)={\lambda }^2-4\lambda +4$

Gli zeri del polinomio caratteristico sono gli autovalori di A.

${\lambda }^2-4\lambda +4=0$

Quindi l'autovalore di A è:

${\lambda }_i=2$

Le soluzioni del sistema di equazioni caratteristiche forniscono gli autovalori.

$\left(A-{\lambda }_{i}E\right)v=\left(\left(\begin{array}{cc}3& -1\\ 1& 1\end{array}\right)-2\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)\right)v=\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ 1& -1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)=0$

Ne derivano le due equazioni seguenti.

$x-y=0$

$x-y=0$

Ciò significa che tutti i vettori v_i in cui entrambe le componenti sono uguali, sono autovettori all'autovalore λ_i = 2.

$v_i=\left(\begin{array}{c}x\\ x\end{array}\right)$

Calcolatore per il calcolo del polinomio caratteristico p(λ) della matrice A

Elementi della matrice di ingresso: a₁₁, a₁₂, ...

Dimensione della matrice N =

↹#.000

Calcolatore per il calcolo degli autovalori

Il calcolatore utilizza l'algoritmo QR per approssimare gli autovalori. Partendo da una matrice A, viene determinata una sequenza di matrici ortogonali o unitarie in modo che la sequenza ricorsiva di matrici converga il più possibile verso una matrice triangolare superiore. Poiché tutte le trasformazioni della ricorsione sono trasformazioni di similitudine, tutte le matrici della sequenza di matrici hanno gli stessi autovalori con gli stessi multipli. Se si raggiunge una matrice triangolare superiore nel valore limite, una forma di taglio di A, gli autovalori possono essere letti dagli elementi diagonali.

Elementi della matrice di ingresso: a₁₁, a₁₂, ...

Dimensione:

↹#.000

Cifre di precisione =

Numero massimo di iterazioni =

Calcolatrice per l'identità autovettore-autovalore

La seguente calcolatrice utilizza la decomposizione QR e l'identità autovettore-valore per calcolare gli autovalori e le grandezze degli autovettori: Eigenvector-eigenvalue identity

Altre calcolatrici

Qui c'è una lista di altre calcolatrici utili:

Contenuto

Sistemi di equazioni

Calcolatrice per sistemi di equazioni lineari 2x2 Calcolatrice per sistemi di equazioni lineari 3x3 Calcolatrice della regola di Cramer NxN Risolutore di eleminazione gaussiana NxN

Matrici / Determinanti

Calcolatrice determinante 3x3 Calcolatrice determinante 4x4 Calcolatrice determinante 5x5 Calcolatrice determinante NxN Calcolatrice Matrice inversa Matrice vettore prodotto