Calcolatrice per determinanti 3x3

Calcolatrice online per determinante 3x3

La calcolatrice online calcola il valore del determinante di una matrice 3x3 dopo la regola di Sarrus e con l'espansione di Laplace in una riga o colonna.

Determinante 3x3

$\mathrm{det\; A}=\left|\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\end{array}\right|$

Inserire i coefficienti

a₁₁=

a₁₂=

a₁₃=

a₂₁=

a₂₂=

a₂₃=

a₃₁=

a₃₂=

a₃₃=

Calcolo del valore determinante

Calcolo con la regola di Sarrus

Per una matrice 3x3 il determinat può essere calcolato con la regola di Sarrus. La regola di Sarrus usa le diagonali per il calcolo. La calcolatrice mostra i passi del calcolo. Per l'illustrazione gli elementi delle diagonali principali sono colorati in verde e gli elementi delle diagonali secondarie sono colorati in blu. In grigio le prime due colonne sono ripetute per facilitare la lettura delle diagonali.

Calcolo con l'espansione di Laplace

Un metodo generale per calcolare il determinat è dato dal teorema di espansione di Laplace. Il teorema può essere usato da qualsiasi riga o colonna. La calcolatrice mostra l'espansione per una riga o una colonna selezionata. È possibile selezionare la riga o la colonna da utilizzare per l'espansione.

Calcolo con l'algoritmo gaussiano

Nota:

Se i coefficienti principali sono zero, allora le colonne o le righe devono essere scambiate di conseguenza, in modo che sia possibile una divisione per il coefficiente principale. Il valore del determinante è corretto se, dopo le trasformazioni la matrice triangolare inferiore è zero, e gli elementi della diagonale principale sono tutti uguali a 1.

Spiegazione dei metodi

Determinante di una matrice 3x3 secondo la regola di Sarrus

Il determinante si calcola come segue con la regola di Sarrus. Schematicamente, le prime due colonne del determinante sono ripetute in modo che le diagonali maggiori e minori possano essere virtualmente collegate da una linea lineare. Poi si fanno i prodotti degli elementi della diagonale principale e si sommano questi prodotti. Con le diagonali secondarie si fa lo stesso. La differenza tra i due dà il determinante della matrice.

Teorema di espansione di Laplace

Il teorema di sviluppo di Laplacian fornisce un metodo per calcolare il determinante, in cui il determinante viene sviluppato dopo una riga o una colonna. La dimensione è ridotta e può essere ridotta ulteriormente passo dopo passo fino a uno scalare.

$\mathrm{det\; A}=\sum _{i=1}^n{-1}^{i+j}\cdot a_{ij}\det A_{ij}\text{( Expansion on the j-th column )}$

$\mathrm{det\; A}=\sum _{j=1}^n{-1}^{i+j}\cdot a_{ij}\det A_{ij}\text{( Expansion on the i-th row )}$

dove A_ij, la sottomatrice di A, che nasce quando la i-esima riga e la j-esima colonna vengono rimosse.

Esempio di espansione di Laplace secondo la prima riga su una matrice 3x3.

$\mathrm{det\; A}=\left|\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\end{array}\right|$

Il primo elemento è dato dal fattore a₁₁ e dalla sottodeterminante costituita dagli elementi con sfondo verde.

$\left|\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\end{array}\right|=>a_{11}\left|\begin{array}{cc}{a}_{22}& a_{23}\\ a_{32}& a_{33}\end{array}\right|$

Il secondo elemento è dato dal fattore a₁₂ e dalla sottodeterminante costituita dagli elementi con sfondo verde.

$\left|\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\end{array}\right|=>a_{12}\left|\begin{array}{cc}{a}_{21}& a_{23}\\ a_{31}& a_{33}\end{array}\right|$

Il terzo elemento è dato dal fattore a₁₃ e dalla sottodeterminante costituita dagli elementi con sfondo verde.

$\left|\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\end{array}\right|=>a_{13}\left|\begin{array}{cc}{a}_{21}& a_{22}\\ a_{31}& a_{32}\end{array}\right|$

Con i tre elementi il determinante può essere scritto come una somma di 2x2 determinanti.

$\mathrm{det\; A}=\left|\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\end{array}\right|=a_{11}\left|\begin{array}{cc}{a}_{22}& a_{23}\\ a_{32}& a_{33}\end{array}\right|-a_{12}\left|\begin{array}{cc}{a}_{21}& a_{23}\\ a_{31}& a_{33}\end{array}\right|+a_{13}\left|\begin{array}{cc}{a}_{21}& a_{22}\\ a_{31}& a_{32}\end{array}\right|$

È importante considerare che il segno degli elementi si alterna nel modo seguente.

$\left|\begin{array}{ccc}+& -& +\\ -& +& -\\ +& -& +\end{array}\right|$

Metodo Gauss

Con il metodo Gauss, il determinante viene trasformato in modo che gli elementi della matrice del triangolo inferiore diventino zero. Per fare questo, si usano le regole del fattore di riga e l'aggiunta di righe. L'aggiunta di righe non cambia il valore del determinante. I fattori di una riga devono essere considerati come moltiplicatori prima del determinat. Se il determinante è triangolare e gli elementi della diagonale principale sono uguali a uno, il fattore prima del determinante corrisponde al valore del determinante stesso.

$\mathrm{det\; A}=\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \dots & a_{1n}\\ a_{j1}& a_{j2}& \dots & a_{jn}\\ & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \dots & a_{nn}\end{array}\right|=\lambda \left|\begin{array}{cccc}1& a_{12}& \dots & a_{1n}\\ 0& 1& \dots & a_{jn}\\ & ⋮\\ 0& 0& \dots & 1\end{array}\right|=\lambda \mathrm{det\; A\text{'}}=\lambda$

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