Calcolatrice per determinanti 4x4

Calcolatrice online per determinante 4x4

La calcolatrice online calcola il valore del determinante di una matrice 4x4 con l'espansione di Laplace in una riga o colonna e l'algoritmo gaussiano.

Determinante 4x4

$\mathrm{det\; A}=\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}& a_{14}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}& a_{24}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}& a_{34}\\ a_{41}& a_{42}& a_{43}& a_{44}\end{array}\right|$

Inserire i coefficienti

a₁₁=

a₁₂=

a₁₃=

a₁₄=

a₂₁=

a₂₂=

a₂₃=

a₂₄=

a₃₁=

a₃₂=

a₃₃=

a₃₄=

a₄₁=

a₄₂=

a₄₃=

a₄₄=

Calcolo del valore del determinante con l'espansione di Laplace

È possibile selezionare la riga o la colonna da utilizzare per l'espansione.

Calcolo con l'algoritmo gaussiano

Nota: se i coefficienti principali sono zero, allora le colonne o le righe devono essere scambiate di conseguenza, in modo che sia possibile una divisione per il coefficiente principale. Il valore del determinante è corretto se, dopo le trasformazioni la matrice triangolare inferiore è zero, e gli elementi della diagonale principale sono tutti uguali a 1.

Spiegazione dei metodi

Teorema di espansione di Laplace

Il teorema di sviluppo di Laplacian fornisce un metodo per calcolare il determinante, in cui il determinante viene sviluppato dopo una riga o una colonna. La dimensione è ridotta e può essere ridotta ulteriormente passo dopo passo fino a uno scalare.

$\mathrm{det\; A}=\sum _{i=1}^n{-1}^{i+j}\cdot a_{ij}\det A_{ij}\text{( Espansione sulla colonna j-esima )}$

$\mathrm{det\; A}=\sum _{j=1}^n{-1}^{i+j}\cdot a_{ij}\det A_{ij}\text{( Espansione sulla i-esima riga )}$

dove A_ij, la sottomatrice di A, che nasce quando la i-esima riga e la j-esima colonna vengono rimosse.

Esempio di espansione di Laplace secondo la prima riga su una matrice 3x3.

$\mathrm{det\; A}=\left|\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\end{array}\right|$

Il primo elemento è dato dal fattore a₁₁ e dalla sottodeterminante costituita dagli elementi con sfondo verde.

$\left|\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\end{array}\right|=>a_{11}\left|\begin{array}{cc}{a}_{22}& a_{23}\\ a_{32}& a_{33}\end{array}\right|$

Il secondo elemento è dato dal fattore a₁₂ e dalla sottodeterminante costituita dagli elementi con sfondo verde.

$\left|\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\end{array}\right|=>a_{12}\left|\begin{array}{cc}{a}_{21}& a_{23}\\ a_{31}& a_{33}\end{array}\right|$

Il terzo elemento è dato dal fattore a₁₃ e dalla sottodeterminante costituita dagli elementi con sfondo verde.

$\left|\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\end{array}\right|=>a_{13}\left|\begin{array}{cc}{a}_{21}& a_{22}\\ a_{31}& a_{32}\end{array}\right|$

Con i tre elementi il determinante può essere scritto come una somma di 2x2 determinanti.

$\mathrm{det\; A}=\left|\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\end{array}\right|=a_{11}\left|\begin{array}{cc}{a}_{22}& a_{23}\\ a_{32}& a_{33}\end{array}\right|-a_{12}\left|\begin{array}{cc}{a}_{21}& a_{23}\\ a_{31}& a_{33}\end{array}\right|+a_{13}\left|\begin{array}{cc}{a}_{21}& a_{22}\\ a_{31}& a_{32}\end{array}\right|$

È importante considerare che il segno degli elementi si alterna nel modo seguente.

$\left|\begin{array}{ccc}+& -& +\\ -& +& -\\ +& -& +\end{array}\right|$

Metodo Gauss

Con il metodo Gauss, il determinante viene trasformato in modo che gli elementi della matrice del triangolo inferiore diventino zero. Per fare questo, si usano le regole del fattore di riga e l'aggiunta di righe. L'aggiunta di righe non cambia il valore del determinante. I fattori di una riga devono essere considerati come moltiplicatori prima del determinat. Se il determinante è triangolare e gli elementi della diagonale principale sono uguali a uno, il fattore prima del determinante corrisponde al valore del determinante stesso.

$\mathrm{det\; A}=\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \dots & a_{1n}\\ a_{j1}& a_{j2}& \dots & a_{jn}\\ & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \dots & a_{nn}\end{array}\right|=\lambda \left|\begin{array}{cccc}1& a_{12}& \dots & a_{1n}\\ 0& 1& \dots & a_{jn}\\ & ⋮\\ 0& 0& \dots & 1\end{array}\right|=\lambda \mathrm{det\; A\text{'}}=\lambda$

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