Modelo de crecimiento logístico

El modelo de crecimiento exponencial se amplía con un recurso limitado en el caso del crecimiento logístico. La solución de la ecuación diferencial describe una curva en forma de S, un sigmoide. En medio del desarrollo, la población crece más rápido hasta que es frenada por los recursos limitados.

Figura: La figura muestra una curva de crecimiento logístico y su derivada como curva punteada. El crecimiento máximo está individo por el punto rojo. Los vectores muestran el campo de dirección del modelo de crecimiento.

Fórmula de crecimiento logístico

Ecuación diferencial de crecimiento logístico:

$y' (t) = k y (G - y)$

$G : Valor máximo de crecimiento$ $k : Tasa de crecimiento logístico$

Con la función de crecimiento para los valores iniciales t₀ = 0 e y₀ = y(0)

$y = \frac{G}{1 + e^{- k G t} (\frac{G}{y_{0}} - 1)}$

Con la función de crecimiento de los valores iniciales generales t₀ e y₀ = y(t₀)

$y = \frac{G}{1 + e^{- k G (t - t_{0})} (\frac{G}{y_{0}} - 1)}$

Punto de inflexión de la función de crecimiento logístico:

En el punto de inflexión del valor de la función de crecimiento logístico igual a la mitad del límite de saturación.

$t_{W} = t_{0} + \frac{ln (\frac{G}{y_{0}} - 1)}{k G}$

$y (t_{W}) = \frac{G}{2}$

Máxima tasa de crecimiento:

La máxima tasa de crecimiento se alcanza en el punto de inflexión.

$y' (t_{W}) = \frac{k G^{2}}{4}$

Ejemplos de aplicación

Crecimiento de las poblaciones con recursos limitados
Regresión logística
Redes neuronales
Modelización de una pandemia

Ecuación diferencial de crecimiento logístico

El crecimiento logístico se describe mediante una ecuación diferencial con factores constantes k y G.

$y' (t) = \frac{d y}{d t} = k y (G - y)$

Ecuación diferencial de crecimiento logístico

$k d t = \frac{1}{y (G - y)} d y$

Separación de las variables

$k G t + C = \ln \frac{y}{G - y}$

La integración da

$y = \frac{G}{1 + e^{- k G (t - t_{0})} (\frac{G}{y_{0}} - 1)}$

Disolver y reemplazar la condición inicial t₀, y₀ yields the solution of the logistic differential equation

Calculadora para la función de crecimiento logístico

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Puntos de la rejilla:

Rejilla de escala:

Curva:

Cuadrícula:

Captura de pantalla del gráfico de crecimiento logístico

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