Forma de vértice

Calculadora para la conversión de la forma estándar a la forma de vértice

La calculadora determina paso a paso la forma del vértice de la función cuadrática.

La función cuadrática general

y(x)=ax2+bx+c

se convierte en la forma de vértice

y(x)=a(x-xV)2+yV

Introduce los coeficientes a, b y c de la función cuadrática:

↹#.000
a=
b=
c=

Conversión a la forma de vértice con expansión cuadrática:

El resultado es la forma del vértice:

La forma del vértice de la función cuadrada es:

y(x)=a(x-xV)2+yV

o si la función cuadrada está en forma básica con a=1:

y(x)=(x-xV)2+yV

Donde xV e yV son las coordenadas x e y del vértice de la parábola. El vértice es el mínimo o el máximo de la función, dependiendo de si la parábola es ascendente o descendente.

Vértice de una parábola en la forma p,q

parábola-vértice

Vértice de una parábola en forma general

parábola-vértice

Vértice de la parábola

La determinación del vértice de una función cuadrática se realiza derivando la función. La condición para un extremo es que la primera derivada de la función desaparezca. En el caso de una función cuadrática, esto es suficiente para obtener un mínimo o un máximo.

El punto de partida es la función cuadrática general:

y(x)=ax2+bx+c

La derivada de la forma general es:

y=2ax+b

La condición para el vértice es que la derivada sea 0. Eso significa que la siguiente ecuación es válida:

2ax+b=0

Al resolver se obtiene la coordenada x del vértice:

xV=-b2a

Insertando en la función cuadrática general se obtiene la coordenada y del vértice:

yV=-b24a+c

De la segunda derivada de la función cuadrática se deduce si el vértice es un máximo o un mínimo. La segunda derivada es:

y=2a

Así que para a > 0 el vértice es un valor mínimo de la parábola y para a < 0 un valor máximo.

Transformación de la forma básica a la forma de vértice

En la forma básica, el coeficiente anterior a x2 es igual a 1. La forma básica de la función cuadrática con los coeficientes constantes p y q es

y(x)=x2+px+q

Si la función cuadrada está en forma básica, el vértice de la parábola viene dado por:

xV=-p2

yV=-(p2)2+q

Transformación de la forma básica a la forma de vértice con expansión cuadrática y aplicación del primer binomio:

x2+px+q=

x2+px+(p2)2-(p2)2+q=

(x+p2)2-(p2)2+q=

(x--p2)2-(p2)2+q=

(x-xV)2+yV

Calculadora para la conversión de la forma básica a la forma de vértice

Introduce los coeficientes p y q de la ecuación cuadrática:

p=
q=

Conversión a la forma de vértice con expansión cuadrática:

Transformación de la forma estándar a la forma de vértice

Forma estándar de la función cuadrática con los coeficientes constantes a, b y c:

y=ax2+bx+c

Si la función cuadrática está en la forma estándar el vértice viene dado por:

xV=-b2a

yV=-b24a+c

Transformación de la forma estándar a la forma de vértice con expansión cuadrática y aplicación del primer binomio:

ax2+bx+c=

a(x2+bax)+c=

a(x2+bax+(b2a)2-(b2a)2)+c=

a(x2+bax+(b2a)2)-b24a+c=

a(x+b2a)2-b24a+c=

a(x--b2a)2-b24a+c=

a(x-xV)2+yV

De la forma de vértice a la forma estándar

Conversión de la forma de vértice de la función cuadrática en la forma estándar.

El punto de partida es la forma de vértice

y=a(x-xV)2+yV=

Resolver el cuadrado da como resultado:

a(x2-2xxV+xV2)+yV=

Multiplicando el paréntesis se obtiene:

ax2-2axxV+axV2+yV=

Inserción de los resultados xV e yV:

ax2+2axb2a+a(-b2a)2-b24a+c=

Acortar los resultados:

ax2+bx+b24a-b24a+c=

Los sumandos se anulan entre sí y se obtiene la función cuadrática general:

ax2+bx+c

Cálculo de los puntos cero a partir de la forma del vértice

A partir de la forma del vértice de la función cuadrática es fácil calcular los ceros de la función.

Partiendo de la forma de vértice

y=a(x-xV)2+yV

la condición para los ceros es que la función sea cero

0=a(x-xV)2+yV

y la remodelación de los rendimientos

(x-xV)2=-yVa

la raíz cuadrada conduce a

x-xV=±-yVa

y finalmente a los ceros

x1,2=xV±-yVa

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