Calculadora de determinantes 3x3

Calculadora en línea para el determinante 3x3

La calculadora en línea calcula el valor del determinante de una matriz de 3x3 después de la regla de Sarrus y con la expansión de Laplace en una fila o columna.

Determinante 3x3

$\mathrm{det\; A}=\left|\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\end{array}\right|$

Entrada de los elementos de la matriz

↹#.000

a₁₁=

a₁₂=

a₁₃=

a₂₁=

a₂₂=

a₂₃=

a₃₁=

a₃₂=

a₃₃=

Cálculo del valor determinante

Cálculo mediante la regla de Sarrus

Para una matriz de 3x3 el determinat se puede calcular con la regla de Sarrus. La regla de Sarrus utiliza las diagonales para el cálculo. La calculadora muestra los pasos del cálculo. Para ilustrar los elementos de las diagonales principales están coloreados en verde y los elementos de las diagonales secundarias están coloreados en azul. En gris se repiten las dos primeras columnas para facilitar la lectura de las diagonales.

Cálculo del valor del determinante con la expansión de Laplace

Puede seleccionar la fila o la columna que se utilizará para la expansión.

Cálculo con el algoritmo de Gauss

Nota: Si los coeficientes principales son cero, las columnas o las filas se intercambian en consecuencia para que sea posible la división por el coeficiente principal. El valor del determinante es correcto si, después de las transformaciones, la matriz triangular inferior es cero, y los elementos de la diagonal principal son todos iguales a 1.

Explicación de los métodos

Determinante de una matriz de 3x3 según la regla de Sarrus

El determinante se calcula de la siguiente manera mediante la regla de Sarrus. Esquemáticamente, se repiten las dos primeras columnas del determinante para que las diagonales mayor y menor puedan ser virtuales conectadas por una línea lineal. Luego se hacen los productos de los elementos de las diagonales principales y se suman estos productos. Con las diagonales secundarias se hará lo mismo. La diferencia entre ambos da el determinante de la matriz.

Explicación de los métodos

Teorema de la expansión de Laplace

El teorema de desarrollo del Laplaciano proporciona un método para calcular el determinante, en el que éste se desarrolla después de una fila o columna. La dimensión se reduce y se puede seguir reduciendo paso a paso hasta llegar a un escalar.

$\mathrm{det\; A}=\sum _{i=1}^n{-1}^{i+j}\cdot a_{ij}\det A_{ij}\text{( Expansión en la j-ésima columna )}$

$\mathrm{det\; A}=\sum _{j=1}^n{-1}^{i+j}\cdot a_{ij}\det A_{ij}\text{( Expansión en la fila i-ésima )}$

donde A_ij, es la submatriz de A, que surge al eliminar la fila i y la columna j.

Ejemplo de la expansión de Laplace según la primera fila en una matriz de 3x3.

$\mathrm{det\; A}=\left|\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\end{array}\right|$

El primer elemento viene dado por el factor a₁₁ y el subdeterminante formado por los elementos con fondo verde.

$\left|\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\end{array}\right|=>a_{11}\left|\begin{array}{cc}{a}_{22}& a_{23}\\ a_{32}& a_{33}\end{array}\right|$

El segundo elemento viene dado por el factor a₁₂ y el subdeterminante formado por los elementos con fondo verde.

$\left|\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\end{array}\right|=>a_{12}\left|\begin{array}{cc}{a}_{21}& a_{23}\\ a_{31}& a_{33}\end{array}\right|$

El tercer elemento viene dado por el factor a₁₃ y el subdeterminante formado por los elementos con fondo verde.

$\left|\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\end{array}\right|=>a_{13}\left|\begin{array}{cc}{a}_{21}& a_{22}\\ a_{31}& a_{32}\end{array}\right|$

Con los tres elementos el determinante se puede escribir como una suma de determinantes 2x2.

$\mathrm{det\; A}=\left|\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\end{array}\right|=a_{11}\left|\begin{array}{cc}{a}_{22}& a_{23}\\ a_{32}& a_{33}\end{array}\right|-a_{12}\left|\begin{array}{cc}{a}_{21}& a_{23}\\ a_{31}& a_{33}\end{array}\right|+a_{13}\left|\begin{array}{cc}{a}_{21}& a_{22}\\ a_{31}& a_{32}\end{array}\right|$

Es importante tener en cuenta que el signo de los elementos se alterna de la siguiente manera.

$\left|\begin{array}{ccc}+& -& +\\ -& +& -\\ +& -& +\end{array}\right|$

Método Gaussiano

Con el método de Gauss, el determinante se transforma de tal manera que los elementos de la matriz triangular inferior se convierten en cero. Para ello, se utilizan las reglas del factor fila y la adición de filas. La adición de filas no cambia el valor del determinante. Los factores de una fila deben considerarse como multiplicadores antes del determinat. Si el determinat es triangular y los elementos de la diagonal principal son iguales a uno, el factor anterior al determinat corresponde al valor del propio determinat.

$\mathrm{det\; A}=\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \dots & a_{1n}\\ a_{j1}& a_{j2}& \dots & a_{jn}\\ & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \dots & a_{nn}\end{array}\right|=\lambda \left|\begin{array}{cccc}1& a_{12}& \dots & a_{1n}\\ 0& 1& \dots & a_{jn}\\ & ⋮\\ 0& 0& \dots & 1\end{array}\right|=\lambda \mathrm{det\; A\text{'}}=\lambda$

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