Fracciones

Fracturas

Una fracción es el cociente de dos números, es decir, la tarea de división m : n, que generalmente se escribe con una barra de fracción. El valor situado sobre la barra de fracción se denomina numerador y el situado bajo la barra de fracción, denominador.

Fracción general con los números m y n $m : n = \frac{m}{n}$ donde m es el numerador y n es el denominador de la fracción.

Ejemplos de fracciones

$7 : 8 = \frac{7}{8}$

Fracción con numerador 7 y denominador 8

$\frac{a x^{2} + b y}{a x}$

Ejemplo más general con una suma en el numerador de la fracción

Números racionales

El conjunto de todas las fracciones de los números naturales forma el conjunto de los números racionales. Los números naturales son un subconjunto de los números racionales. Los números naturales están contenidos en los números racionales como las llamadas fracciones impropias ( m:1 ).

Máximo común divisor (mcd)

El mcd es el mayor número natural por el que se pueden dividir dos números enteros sin resto.

Calculadora mcd

Mínimo común múltiplo (mcm)

El mínimo común múltiplo de dos números enteros m y n es el menor número natural que es a la vez múltiplo de m y múltiplo de n. El mínimo común denominador posible (el llamado denominador principal) de dos fracciones es el mcd.

Calculadora mcm

Pausas especiales

Una fracción con el numerador cero tiene el valor cero.

$\frac{0}{a} = 0$

Una fracción con denominador uno tiene el valor del numerador.

$\frac{a}{1} = a$

Si el numerador y el denominador de una fracción son iguales, la fracción tiene el valor uno.

$\frac{a}{a} = 1$

La división por cero no está definida.

$\frac{a}{0} = no definido$

Signo de las fracciones

Las fracciones que tienen el mismo signo en el numerador y el denominador son positivas.

$\frac{+ a}{+ b} = \frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}$

El cociente de dos números con signos desiguales es negativo. Se deduce que se pueden invertir los signos del numerador y del denominador.

$\frac{+ a}{- b} = \frac{- a}{+ b} = - \frac{a}{b}$

El signo que precede a la fracción puede colocarse en el numerador o en el denominador.

$- \frac{a}{b} = \frac{- a}{b} = \frac{a}{- b}$

Reglas de cálculo para fracciones

Acortar fracciones

Reducir es el proceso de disminuir una fracción por un factor que se da tanto en el numerador como en el denominador. Al reducir, se elimina un factor común del numerador y el denominador de una fracción, por lo que el valor de la fracción no cambia. Si se reduce con el máximo común divisor del numerador y el denominador, el resultado es una fracción que no se puede reducir más.

Acortamiento general de una fracción: $\frac{a \cdot c}{b \cdot c} = \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{c} = \frac{a}{b} \cdot 1 = \frac{a}{b}$

Si hay sumas en el numerador y/o en el denominador, el factor común debe estar presente en todos los sumandos y debe reducirse en cada sumando: $\frac{a \cdot c + b \cdot c}{x \cdot c + y \cdot c} = \frac{c (a + b)}{c (x + y)} = \frac{c}{c} \cdot \frac{a + b}{x + y} = \frac{a + b}{x + y}$

Ejemplos de fracciones abreviadas

$\frac{12}{16} = \frac{3 \cdot 4}{4 \cdot 4} = \frac{3}{4} \cdot \frac{4}{4} = \frac{3}{4}$

En 12 y 16, el factor común es 4, que se puede reducir por. 4 es el máximo común divisor de 12 y 16. 4 es el máximo común divisor de 12 y 16. Si se descompone la fracción en el producto, resulta la fracción 4/4 como factor y el valor de esta fracción es 1.

$\frac{a x^{2} + a x y}{a x} = \frac{a x (x + y)}{a x}$ $= \frac{a x}{a x} \cdot \frac{x + y}{1} = x + y$

La suma en el numerador contiene el factor común a⋅x y puede truncarse.

Extender una fracción es lo contrario de acortarla. Es decir, multiplicas el numerador y el denominador por el mismo factor y, por tanto, no cambias el valor de la fracción, ya que la fracción se multiplica por 1 en total.

Adición

La suma de fracciones se realiza sumando las fracciones de forma que tengan un denominador común.

Suma general de dos fracciones: $\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{a \cdot d}{b \cdot d} + \frac{c \cdot b}{d \cdot b} = \frac{a \cdot d + c \cdot b}{b \cdot d}$

Ejemplo de suma de fracciones

$\frac{1}{2} + \frac{2}{3}$ $= \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 3} + \frac{2 \cdot 2}{3 \cdot 2}$ $= \frac{1 \cdot 3 + 2 \cdot 2}{2 \cdot 3} = \frac{7}{6}$

Extiende las fracciones al denominador principal (mcd) 6 y combínalas. Cada denominador debe multiplicarse por un factor hasta el denominador principal. Para no cambiar el valor de la fracción, el factor se multiplica también en el numerador. Multiplicar un factor en el numerador y el denominador se llama extender la fracción.

Calculadora para sumar fracciones

Resta

La resta de fracciones se realiza del mismo modo que la suma.

Resta general de dos fracciones: $\frac{a}{b} - \frac{c}{d} = \frac{a \cdot d}{b \cdot d} - \frac{c \cdot b}{d \cdot b} = \frac{a \cdot d - c \cdot b}{b \cdot d}$

Ejemplo de resta de fracciones

$\frac{1}{2} - \frac{2}{3}$ $= \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 3} - \frac{2 \cdot 2}{3 \cdot 2}$ $= \frac{1 \cdot 3 - 2 \cdot 2}{2 \cdot 3} = - \frac{1}{6}$

Extiende las fracciones al denominador principal 6 del mismo modo que la suma y combínalas teniendo en cuenta el signo.

Ejemplo de suma/resta de fracciones en pasos parciales

$\frac{4}{9} + \frac{2}{-15}$

En este ejemplo se explican todos los pasos.

$= \frac{4}{9} - \frac{2}{15}$

Paso 1: Los signos negativos en el numerador o denominador se colocan delante de la fracción. El signo menos en el denominador de la segunda fracción se multiplica por el signo más delante de la fracción y + multiplicado por - da como resultado -.

$= \frac{4 \cdot 5}{9 \cdot 5} - \frac{2 \cdot 3}{15 \cdot 3} = \frac{4 \cdot 5}{45} - \frac{2 \cdot 3}{45}$

Paso 2: Determinar el mínimo común múltiplo de los denominadores.

Los múltiplos de 9 son 9; 18; 27; 36; 45

Los múltiplos de 15 son 15; 30; 45

Por tanto, el mcd es 45, es decir, hay que expandir ambas fracciones para que el denominador sea 45. Para ello, la primera fracción se expande por 45/9, es decir, 5, y la segunda por 45/15, es decir, 3. Para ello, la primera fracción se amplía 45/9, es decir, 5, y la segunda fracción se amplía 45/15, es decir, 3.

$= \frac{4 \cdot 5 - 2 \cdot 3}{45}$

Paso 3: Las fracciones se reducen ahora a denominadores comunes y pueden escribirse en una línea de fracción común.

$= \frac{14}{45}$

Paso 4: Calculando el numerador se obtiene el resultado. Queda por comprobar si la fracción tiene un divisor común por el que se pueda reducir.

Los divisores de 14 son 1; 2; 7; 14

Los divisores de 45 son 1; 3; 5; 9; 15; 45

Por tanto, el máximo común divisor es 1, es decir, la fracción no puede reducirse más. De lo contrario, el numerador y el denominador se habrían dividido por el mcm.

Multiplicación

La multiplicación de fracciones se realiza multiplicando los numeradores y denominadores respectivamente.

Multiplicación general de dos fracciones: $\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}$

Ejemplo de multiplicación de fracciones

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3}$ $= \frac{1 \cdot 2}{2 \cdot 3}$ $= \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

Multiplicar el numerador y el denominador y luego acortar la fracción

Calculadora para la multiplicación de fracciones

División

La división de fracciones se realiza multiplicando la primera fracción por el recíproco de la segunda.

División general de dos fracciones: $\frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c} = \frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}} = \frac{a \cdot d}{b \cdot c}$

Ejemplo de división de fracciones con una línea de fracción principal

$\frac{\frac{a + b}{x} + \frac{1}{x^{2}}}{1 + \frac{1}{x}}$

En este ejemplo se explican todos los pasos.

$= \frac{\frac{x (a + b)}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}{1 + \frac{1}{x}}$

Paso 1: Las fracciones del numerador se llevan al denominador principal. Es decir, la primera fracción se amplía por x.

$= \frac{\frac{x (a + b)}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}{\frac{x}{x} + \frac{1}{x}}$

Paso 2: Las fracciones del denominador se llevan al denominador principal.

$= \frac{\frac{x (a + b) + 1}{x^{2}}}{\frac{x + 1}{x}}$

Paso 3: Ahora la fracción en el numerador y la fracción en el denominador se pueden escribir en sus respectivos denominadores principales.

$= \frac{(x (a + b) + 1) x}{x^{2} (x + 1)}$

Paso 4: Realiza la división multiplicando las fracciones por el valor recíproco.

$= \frac{x (a + b) + 1}{x (x + 1)}$

Paso 5: x aún puede acortarse.

Calculadora para la división de fracciones

Poderes

Una fracción se eleva a una potencia exponenciando el numerador y el denominador.

${(\frac{a}{b})}^{p} = \frac{a^{p}}{b^{p}}$

Raíces

La raíz de una fracción es el cociente de las raíces del numerador y del denominador de la fracción.

$\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$

Ejemplo de fracción con raíces

$\sqrt{\frac{a x^{2}}{(a - b)}} = \frac{\sqrt{a x^{2}}}{\sqrt{(a - b)}} = \frac{\sqrt{a} x}{\sqrt{(a - b)}}$

La raíz se aplica al numerador y al denominador.

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