Valores propios y vectores propios de las matrices

Términos:

Un vector propio de una cartografía es un vector que sólo cambia de magnitud pero no de dirección por la cartografía. El factor por el que cambia la magnitud es el valor propio asociado. El conjunto de vectores propios de un valor propio se denomina espacio propio. El conjunto de valores propios de una imagen es el espectro de la misma. El radio espectral es el valor propio con la mayor cantidad. La dimensión del eigespacio es la multiplicidad geométrica del eigenvalor. La multiplicidad algebraica se define por la multiplicidad de ceros del polinomio característico.

Definición:

Para una matriz cuadrada A, cada vector v es un vector propio si se cumple la siguiente condición:

$Av=\lambda v$

$\text{con}\lambda \in \mathbb{C}\text{und}v\ne 0$

El factor λ es el valor propio que pertenece al vector propio v. Los valores propios pueden ser reales o complejos.

Interpretación ilustrativa:

En general, una matriz A mapea un vector a en otro vector b. Los vectores propios v se distinguen por el hecho de que sólo se estiran o comprimen por un factor. En el diagrama el vector v es un eigenvector estirado por el factor λ. El vector a no es un vector propio porque la matriz cambia también la dirección.

Ejemplo bidimensional

Con este ejemplo, el valor propio y el vector propio se explican claramente en el plano.

$A=\left(\begin{array}{cc}3& -1\\ 1& 1\end{array}\right)$

Esta matriz mapea el vector (1,1) como sigue.

$\left(\begin{array}{cc}3& -1\\ 1& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2\\ 2\end{array}\right)=2\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)$

Este el vector es un eigenvector de A, que está estirado por el factor 2. Por lo tanto, el valor propio pertenece al eigenvector (1,1).

Para otro vector, por ejemplo, (2,3), esto no es cierto.

$\left(\begin{array}{cc}3& -1\\ 1& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}2\\ 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}3\\ 5\end{array}\right)$

Sin embargo, la matriz no sólo tiene un vector propio. Por ejemplo, el vector (2,2) también es un vector propio.

$\left(\begin{array}{cc}3& -1\\ 1& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}2\\ 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}4\\ 4\end{array}\right)=2\left(\begin{array}{c}2\\ 2\end{array}\right)$

Cálculo de valores propios

La ecuación

$Av=\lambda v$

puede transformarse en el sistema de ecuaciones homogéneas

$(A-\lambda E)v=0$

El sistema de ecuaciones tiene una solución no trivial si y sólo si el determinante desaparece. Que si es aplicable

$\det (A-\lambda E)=0$

El polinomio se llama polinomio característico de A y la ecuación es la ecuación característica de A. Si λ_i es un valor propio de A entonces las soluciones de la ecuación característica son los vectores propios de A al valor propio λ_i.

Ejemplo bidimensional parte 2

En la segunda parte del ejemplo se calculan el valor propio y el vector propio. Primero se determina el polinomio característico.

$\det \left(A-\lambda E\right)=$

$\left(\left(\begin{array}{cc}3& -1\\ 1& 1\end{array}\right)-\mathrm{\lambda }\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)\right)=\left(\begin{array}{cc}3-\lambda & -1\\ 1& 1-\lambda \end{array}\right)={\lambda }^2-4\lambda +4$

Los ceros del polinomio característico son los valores propios de A.

${\lambda }^2-4\lambda +4=0$

Así que el valor propio de A es:

${\lambda }_i=2$

Las soluciones del sistema de ecuaciones características proporcionan los vectores propios.

$\left(A-{\lambda }_{i}E\right)v=\left(\left(\begin{array}{cc}3& -1\\ 1& 1\end{array}\right)-2\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)\right)v=\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ 1& -1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)=0$

Esto da lugar a las dos ecuaciones siguientes.

$x-y=0$

$x-y=0$

Esto significa que todos los vectores v_i en los que ambas componentes son iguales, son vectores propios del valor propio λ_i = 2.

$v_i=\left(\begin{array}{c}x\\ x\end{array}\right)$

Calculadora para el cálculo del polinomio característico p(λ) de la matriz A

Cálculo según el algoritmo de Faddejew-Leverrier.

B₀= 0;   c_n= 1;

repita

 B_k= A B_k-1 + c_n-k+1 I;    c_n-k= - tr(A B_k) / k;

hasta k < Rang(A)

Elementos de la matriz de entrada: a₁₁, a₁₂, ...

Dimensión de la matriz N =

↹#.000

Calculadora para calcular los valores propios

La calculadora utiliza el algoritmo QR para aproximar los valores propios. Partiendo de una matriz A, se determina una secuencia de matrices ortogonales o unitarias para que la secuencia de matrices recursivas converja en lo posible contra una matriz triangular superior. Como todas las transformaciones de la recursión son transformaciones de similitud, todas las matrices de la secuencia matricial tienen los mismos valores propios con los mismos múltiplos. Si se alcanza una matriz triangular superior en el valor límite, una forma de cizalla de A, los valores propios pueden leerse a partir de los elementos diagonales.

Elementos de la matriz de entrada: a₁₁, a₁₂, ...

Dimensión de la matriz N =

↹#.000

Dígitos de precisión =

Número máximo de iteraciones =

Calculadora para la identidad vectorial-valor propio

La siguiente calculadora referenciada utiliza la descomposición QR y la identidad de valores propios para calcular los valores propios y las magnitudes de los vectores propios: Eigenvector-eigenvalue identity

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