Frazioni

Fratture

Una frazione è il quoziente di due numeri, cioè l'operazione di divisione m : n, che viene generalmente scritta con una barra di frazione. Il valore sulla linea di frazione è chiamato numeratore e il valore sotto la linea di frazione è chiamato denominatore.

Frazione generale con i numeri m e n $m : n = \frac{m}{n}$ dove m è il numeratore e n è il denominatore della frazione.

Esempi di frazioni

$7 : 8 = \frac{7}{8}$

Frazione con numeratore 7 e denominatore 8

$\frac{a x^{2} + b y}{a x}$

Esempio più generale con una somma nel numeratore della frazione

Numeri razionali

L'insieme di tutte le frazioni dei numeri naturali costituisce l'insieme dei numeri razionali. I numeri naturali sono un sottoinsieme dei numeri razionali. I numeri naturali sono contenuti nei numeri razionali come cosiddette frazioni improprie ( m:1 ).

Massimo comun divisore (MCD)

Il MCD è il più grande numero naturale per il quale due numeri interi possono essere divisi senza resto.

Calcolatrice MCD

Minimo comune multiplo (mcm)

Il più minimo multiplo comune di due numeri interi m e n è il più piccolo numero naturale che è sia un multiplo di m che un multiplo di n. Il più piccolo denominatore comune possibile (il cosiddetto denominatore principale) di due frazioni è il mcm.

Calcolatrice mcm

Frazione speciali

Una frazione con numeratore zero ha valore zero.

$\frac{0}{a} = 0$

Una frazione con denominatore pari a uno ha il valore del numeratore.

$\frac{a}{1} = a$

Se il numeratore e il denominatore di una frazione sono uguali, la frazione ha valore uno.

$\frac{a}{a} = 1$

La divisione per zero non è definita.

$\frac{a}{0} = non definito$

Segno delle frazioni

Le frazioni che hanno lo stesso segno al numeratore e al denominatore sono positive.

$\frac{+ a}{+ b} = \frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}$

Il quoziente di due numeri con segni disuguali è negativo. Ne consegue che i segni del numeratore e del denominatore possono essere invertiti.

$\frac{+ a}{- b} = \frac{- a}{+ b} = - \frac{a}{b}$

Il segno prima della frazione può essere posto sia al numeratore che al denominatore.

$- \frac{a}{b} = \frac{- a}{b} = \frac{a}{- b}$

Regole di calcolo per le frazioni

Accorciare le frazioni

La riduzione è il processo di riduzione di una frazione per un fattore presente sia nel numeratore che nel denominatore. Quando si riduce, un fattore comune del numeratore e del denominatore di una frazione viene rimosso, per cui il valore della frazione non cambia. Se si riduce con il massimo comun divisore del numeratore e del denominatore, il risultato è una frazione che non può essere ulteriormente ridotta.

Accorciamento generale di una frazione: $\frac{a \cdot c}{b \cdot c} = \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{c} = \frac{a}{b} \cdot 1 = \frac{a}{b}$

Se ci sono somme al numeratore e/o al denominatore, il fattore comune deve essere presente in tutti i sommatori e deve essere ridotto in ogni sommatore: $\frac{a \cdot c + b \cdot c}{x \cdot c + y \cdot c} = \frac{c (a + b)}{c (x + y)} = \frac{c}{c} \cdot \frac{a + b}{x + y} = \frac{a + b}{x + y}$

Esempi di frazioni abbreviate

$\frac{12}{16} = \frac{3 \cdot 4}{4 \cdot 4} = \frac{3}{4} \cdot \frac{4}{4} = \frac{3}{4}$

In 12 e 16, il fattore comune è 4, che può essere ridotto da. 4 è il massimo comun divisore di 12 e 16. Se si scompone la frazione nel prodotto, il risultato è la frazione 4/4 come fattore e il valore di questa frazione è 1. 4 è il massimo comun divisore di 12 e 16. Se si scompone la frazione nel prodotto, si ottiene la frazione 4/4 come fattore e il valore di questa frazione è 1.

$\frac{a x^{2} + a x y}{a x} = \frac{a x (x + y)}{a x}$ $= \frac{a x}{a x} \cdot \frac{x + y}{1} = x + y$

La somma al numeratore contiene il fattore comune a⋅x e può essere troncata.

Estendere una frazione è l'opposto di accorciarla. In altre parole, si moltiplica il numeratore e il denominatore per lo stesso fattore e quindi non si cambia il valore della frazione, poiché la frazione viene moltiplicata per 1 in totale.

Addizione

L'addizione di frazioni si effettua sommando le frazioni in modo che abbiano un denominatore comune.

Addizione generale di due frazioni: $\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{a \cdot d}{b \cdot d} + \frac{c \cdot b}{d \cdot b} = \frac{a \cdot d + c \cdot b}{b \cdot d}$

Esempio di addizione di frazioni

$\frac{1}{2} + \frac{2}{3}$ $= \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 3} + \frac{2 \cdot 2}{3 \cdot 2}$ $= \frac{1 \cdot 3 + 2 \cdot 2}{2 \cdot 3} = \frac{7}{6}$

Estendere le frazioni al denominatore principale (mcm) 6 e combinarle. Ogni denominatore deve essere moltiplicato per un fattore al denominatore principale. Per non cambiare il valore della frazione, il fattore viene moltiplicato anche nel numeratore. La moltiplicazione di un fattore nel numeratore e nel denominatore si chiama estensione della frazione.

Calcolatrice per l'addizione di frazioni

Sottrazione

La sottrazione di frazioni si esegue allo stesso modo dell'addizione.

Sottrazione generale di due frazioni: $\frac{a}{b} - \frac{c}{d} = \frac{a \cdot d}{b \cdot d} - \frac{c \cdot b}{d \cdot b} = \frac{a \cdot d - c \cdot b}{b \cdot d}$

Esempio di sottrazione di frazioni

$\frac{1}{2} - \frac{2}{3}$ $= \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 3} - \frac{2 \cdot 2}{3 \cdot 2}$ $= \frac{1 \cdot 3 - 2 \cdot 2}{2 \cdot 3} = - \frac{1}{6}$

Estendere le frazioni al denominatore principale 6 allo stesso modo dell'addizione e combinarle, tenendo conto del segno.

Esempio di addizione/sottrazione di frazioni in fasi parziali

$\frac{4}{9} + \frac{2}{-15}$

Tutti i passaggi sono spiegati in questo esempio.

$= \frac{4}{9} - \frac{2}{15}$

Fase 1: I segni negativi al numeratore o al denominatore vengono anteposti alla frazione. Il meno nel denominatore della seconda frazione viene moltiplicato per il più davanti alla frazione e + per - dà come risultato -.

$= \frac{4 \cdot 5}{9 \cdot 5} - \frac{2 \cdot 3}{15 \cdot 3} = \frac{4 \cdot 5}{45} - \frac{2 \cdot 3}{45}$

Fase 2: determinare il minimo comune multiplo dei denominatori.

I multipli di 9 sono 9; 18; 27; 36; 45

I multipli di 15 sono 15; 30; 45

Il mcm è quindi 45, cioè entrambe le frazioni devono essere espanse in modo che il denominatore diventi 45. Per fare ciò, la prima frazione viene espansa per 45/9, cioè 5, e la seconda frazione per 45/15, cioè 3. Per fare ciò, la prima frazione viene espansa di 45/9, cioè 5, e la seconda frazione viene espansa di 45/15, cioè 3.

$= \frac{4 \cdot 5 - 2 \cdot 3}{45}$

Fase 3: le frazioni sono ora ridotte a denominatori comuni e possono essere scritte su una linea di frazione comune.

$= \frac{14}{45}$

Fase 4: Il calcolo del numeratore fornisce il risultato. Resta da verificare se la frazione ha un divisore comune per il quale può essere ridotta.

I divisori di 14 sono 1; 2; 7; 14

I divisori di 45 sono 1; 3; 5; 9; 15; 45

Il massimo comun divisore è quindi 1, cioè la frazione non può essere ulteriormente ridotta. Altrimenti, il numeratore e il denominatore sarebbero stati divisi per il MCD.

Moltiplicazione

La moltiplicazione delle frazioni si effettua moltiplicando rispettivamente i numeratori e i denominatori.

Moltiplicazione generale di due frazioni: $\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}$

Esempio di moltiplicazione di frazioni

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3}$ $= \frac{1 \cdot 2}{2 \cdot 3}$ $= \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

Moltiplicare il numeratore e il denominatore e poi accorciare la frazione

Calcolatrice per la moltiplicazione delle frazioni

Divisione

La divisione di frazioni si effettua moltiplicando la prima frazione per il reciproco della seconda.

Divisione generale di due frazioni: $\frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c} = \frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}} = \frac{a \cdot d}{b \cdot c}$

Esempio di divisione di frazioni con una linea di frazione principale

$\frac{\frac{a + b}{x} + \frac{1}{x^{2}}}{1 + \frac{1}{x}}$

Tutti i passaggi sono spiegati in questo esempio.

$= \frac{\frac{x (a + b)}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}{1 + \frac{1}{x}}$

Fase 1: le frazioni al numeratore vengono portate al denominatore principale. Cioè la prima frazione viene allungata di x.

$= \frac{\frac{x (a + b)}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}{\frac{x}{x} + \frac{1}{x}}$

Fase 2: le frazioni del denominatore vengono portate al denominatore principale.

$= \frac{\frac{x (a + b) + 1}{x^{2}}}{\frac{x + 1}{x}}$

Fase 3: ora la frazione al numeratore e la frazione al denominatore possono essere scritte nei rispettivi denominatori principali.

$= \frac{(x (a + b) + 1) x}{x^{2} (x + 1)}$

Fase 4: eseguire la divisione moltiplicando le frazioni per il valore reciproco.

$= \frac{x (a + b) + 1}{x (x + 1)}$

Fase 5: x può ancora essere accorciato.

Calcolatrice per la divisione di frazioni

Potenza

Una frazione viene elevata a potenza esponenziando il numeratore e il denominatore.

${(\frac{a}{b})}^{p} = \frac{a^{p}}{b^{p}}$

Radici

La radice di una frazione è il quoziente delle radici del numeratore e del denominatore della frazione.

$\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$

Esempio di frazione con radici

$\sqrt{\frac{a x^{2}}{(a - b)}} = \frac{\sqrt{a x^{2}}}{\sqrt{(a - b)}} = \frac{\sqrt{a} x}{\sqrt{(a - b)}}$

La radice viene applicata al numeratore e al denominatore.

Altre calcolatrici

Qui c'è una lista di altre calcolatrici utili:

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