Forma del vertice

La forma del vertice della funzione quadrata è:

y(x)=a(x-xV)2+yV

o se la funzione quadrata è in forma base con a=1:

y(x)=(x-xV)2+yV

Dove xV e yV sono le coordinate x e y del vertice della parabola. Il vertice è il minimo o il massimo della funzione, a seconda che la parabola sia ascendente o discendente.

Vertice di una parabola in forma p,q

parabola-vertex

Vertice di una parabola in forma generale

parabola-vertex-general

Vertice della parabola

La determinazione del vertice di una funzione quadratica si esegue derivando la funzione. La condizione per un estremo è che la derivata prima della funzione svanisca. Per una funzione quadratica questo è sufficiente per un minimo o un massimo.

Il punto di partenza è la funzione quadratica generale:

y(x)=ax2+bx+c

La derivata della forma generale è:

y=2ax+b

La condizione per il vertice è che la derivata sia 0. Ciò significa che la seguente equazione è valida:

2ax+b=0

Risolvendo si ottiene la coordinata x del vertice:

xV=-b2a

Inserendo nella funzione quadratica generale si ottiene la coordinata y del vertice:

yV=-b24a+c

Dalla derivata seconda della funzione quadratica segue se il vertice è un massimo o un minimo. La derivata seconda è:

y=2a

Quindi per a > 0 il vertice è un valore minimo della parabola e per a < 0 un valore massimo.

Trasformazione dalla forma base alla forma del vertice

Nella forma base, il coefficiente prima di x2 è uguale a 1. La forma base della funzione quadratica con i coefficienti costanti p e q è

y(x)=x2+px+q

Se la funzione quadrata è in forma base, il vertice della parabola è dato da:

xV=-p2

yV=-(p2)2+q

Trasformazione dalla forma base alla forma del vertice con espansione quadratica e applicazione del primo binomio:

x2+px+q=

x2+px+(p2)2-(p2)2+q=

(x+p2)2-(p2)2+q=

(x--p2)2-(p2)2+q=

(x-xV)2+yV

Calcolatrice per la conversione dalla forma base alla forma del vertice

Inserisci i coefficienti p e q dell'equazione quadratica:

p=
q=

Conversione alla forma del vertice con espansione quadratica:

Trasformazione da forma standard a forma di vertice

Forma standard della funzione quadratica con i coefficienti costanti a, b e c:

y=ax2+bx+c

Se la funzione quadratica è nella forma standard il vertice è dato da:

xV=-b2a

yV=-b24a+c

Trasformazione dalla forma standard alla forma del vertice con Espansione quadratica e Applicazione del primo binomio:

ax2+bx+c=

a(x2+bax)+c=

a(x2+bax+(b2a)2-(b2a)2)+c=

a(x2+bax+(b2a)2)-b24a+c=

a(x+b2a)2-b24a+c=

a(x--b2a)2-b24a+c=

a(x-xV)2+yV

Calcolatrice per la conversione dalla forma standard alla forma del vertice

Inserisci i coefficienti a, b e c della funzione quadratica:

a=
b=
c=

Conversione alla forma del vertice con Espansione quadratica:

Dalla forma del vertice alla forma standard

Conversione della forma del vertice della funzione quadratica nella forma standard.

Il punto di partenza è la forma del vertice

y=a(x-xV)2+yV=

Risolvendo il quadrato si ottiene:

a(x2-2xxV+xV2)+yV=

Moltiplicando la parentesi si ottiene:

ax2-2axxV+axV2+yV=

Inserimento di xV e yV risultati:

ax2+2axb2a+a(-b2a)2-b24a+c=

L'accorciamento si traduce in:

ax2+bx+b24a-b24a+c=

Le sommatorie si annullano a vicenda e la funzione quadratica generale segue:

ax2+bx+c

Calcolo dei punti zero dalla forma del vertice

Dalla forma del vertice della funzione quadratica è facile calcolare gli zeri della funzione.

Partendo dalla forma del vertice

y=a(x-xV)2+yV

la condizione per gli zeri è che la funzione sia zero

0=a(x-xV)2+yV

e rimodellare i rendimenti

(x-xV)2=-yVa

la radice quadrata porta a

x-xV=±-yVa

e infine agli zeri

x1,2=xV±-yVa

Altre calcolatrici

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