Règles de calcul des fractions

Fractions

On appelle fraction le quotient de deux nombres, c'est-à-dire le problème de division m : n, qui s'écrit généralement avec un trait de fraction. La valeur sur la barre de fraction est appelée numérateur et la valeur sous la barre de fraction est appelée dénominateur.

Fraction générale avec les nombres m et n $m : n = \frac{m}{n}$ où m est le numérateur et n le dénominateur de la fraction.

Exemples de fractions

$7 : 8 = \frac{7}{8}$

Fraction dont le numérateur est 7 et le dénominateur 8

$\frac{a x^{2} + b y}{a x}$

Exemple plus général avec une somme au numérateur de la fraction

Chiffres rationnels

L'ensemble de toutes les fractions issues des nombres naturels forme l'ensemble des nombres rationnels. Les nombres naturels sont un sous-ensemble des nombres rationnels. Les nombres naturels sont inclus dans les nombres rationnels sous forme de fractions dites non vraies ( m:1 ).

Plus grand diviseur commun (PGCD)

Le PGCD est le plus grand nombre naturel par lequel on peut diviser deux nombres entiers sans reste.

Rechner PGCD

Plus petit commun multiple (PPCM)

Le plus petit commun multiple de deux entiers m et n est le plus petit entier naturel qui est à la fois multiple de m et multiple de n. Le plus petit dénominateur commun possible (appelé dénominateur principal) de deux fractions est le PPCM.

Rechner PPCM

Ruptures particulières

Une fraction dont le numérateur est zéro a une valeur nulle.

$\frac{0}{a} = 0$

Une fraction dont le dénominateur est un a la valeur du numérateur.

$\frac{a}{1} = a$

Si le numérateur et le dénominateur d'une fraction sont égaux, la fraction a une valeur de un.

$\frac{a}{a} = 1$

Une division par zéro n'est pas définie.

$\frac{a}{0} = non défini$

Signe des fractions

Les fractions qui ont le même signe au numérateur et au dénominateur sont positives.

$\frac{+ a}{+ b} = \frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}$

Le quotient de deux nombres de signes différents est négatif. Il en résulte que les signes du numérateur et du dénominateur peuvent être échangés.

$\frac{+ a}{- b} = \frac{- a}{+ b} = - \frac{a}{b}$

Un signe devant une fraction peut être placé soit au numérateur, soit au dénominateur.

$- \frac{a}{b} = \frac{- a}{b} = \frac{a}{- b}$

Règles de calcul pour les fractions

Fractions Réduire

La réduction est l'opération qui consiste à diminuer une fraction d'un facteur qui apparaît à la fois au numérateur et au dénominateur. La réduction consiste à supprimer un facteur commun au numérateur et au dénominateur d'une fraction, sans que la valeur de la fraction ne change. Si l'on réduit avec le plus grand diviseur commun au numérateur et au dénominateur, on obtient une fraction qui ne peut plus être réduite.

Réduction générale d'une fraction : $\frac{a \cdot c}{b \cdot c} = \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{c} = \frac{a}{b} \cdot 1 = \frac{a}{b}$

S'il y a des sommes au numérateur et/ou au dénominateur, le facteur commun doit être présent dans tous les opérandes et être réduit dans chaque opérande : $\frac{a \cdot c + b \cdot c}{x \cdot c + y \cdot c} = \frac{c (a + b)}{c (x + y)} = \frac{c}{c} \cdot \frac{a + b}{x + y} = \frac{a + b}{x + y}$

Exemples de réduction de fractions

$\frac{12}{16} = \frac{3 \cdot 4}{4 \cdot 4} = \frac{3}{4} \cdot \frac{4}{4} = \frac{3}{4}$

Dans 12 et 16, le facteur commun par lequel on peut réduire est 4. 4 est le plus grand diviseur commun de 12 et 16. Si l'on décompose la fraction en produit, on obtient comme facteur la fraction 4/4 et la valeur de cette fraction est 1.

$\frac{a x^{2} + a x y}{a x} = \frac{a x (x + y)}{a x}$ $= \frac{a x}{a x} \cdot \frac{x + y}{1} = x + y$

Dans la somme au numérateur, le facteur commun a⋅x est inclus et peut être réduit.

Par extension d'une fraction, on entend le contraire de la réduction. C'est-à-dire que l'on multiplie le numérateur et le dénominateur par le même facteur et que l'on ne change pas la valeur de la fraction, puisque la fraction est multipliée par 1.

Addition

L'addition de fractions s'effectue en complétant les fractions de manière à ce qu'elles aient un dénominateur commun.

Addition générale de deux fractions : $\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{a \cdot d}{b \cdot d} + \frac{c \cdot b}{d \cdot b} = \frac{a \cdot d + c \cdot b}{b \cdot d}$

Exemple d'addition de fractions

$\frac{1}{2} + \frac{2}{3}$ $= \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 3} + \frac{2 \cdot 2}{3 \cdot 2}$ $= \frac{1 \cdot 3 + 2 \cdot 2}{2 \cdot 3} = \frac{7}{6}$

Développer les fractions jusqu'au dénominateur principal (PPCM) 6 et les combiner. Pour cela, chaque dénominateur doit être multiplié par un facteur par rapport au dénominateur principal. Pour ne pas modifier la valeur de la fraction, le facteur est également multiplié au numérateur. La multiplication d'un facteur au numérateur et au dénominateur s'appelle l'extension de la fraction.

Calculatrice pour l'addition de fractions

Soustraction

La soustraction de fractions s'effectue de la même manière que l'addition.

Soustraction générale de deux fractions : $\frac{a}{b} - \frac{c}{d} = \frac{a \cdot d}{b \cdot d} - \frac{c \cdot b}{d \cdot b} = \frac{a \cdot d - c \cdot b}{b \cdot d}$

Exemple de soustraction de fractions

$\frac{1}{2} - \frac{2}{3}$ $= \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 3} - \frac{2 \cdot 2}{3 \cdot 2}$ $= \frac{1 \cdot 3 - 2 \cdot 2}{2 \cdot 3} = - \frac{1}{6}$

Développer les fractions jusqu'au dénominateur principal 6 de la même manière que pour l'addition et les regrouper en tenant compte du signe

Exemple d'addition/soustraction de fractions en étapes partielles

$\frac{4}{9} + \frac{2}{-15}$

Toutes les étapes partielles sont expliquées à titre d'exemple dans cet exemple.

$= \frac{4}{9} - \frac{2}{15}$

1ère étape : Les signes négatifs du numérateur ou du dénominateur sont tirés devant la fraction. Le signe - multiplié par - donne + et le signe - multiplié par + donne -. Le signe moins du dénominateur de la deuxième fraction est multiplié par le signe plus devant la fraction et le signe + multiplié par - donne -.

$= \frac{4 \cdot 5}{9 \cdot 5} - \frac{2 \cdot 3}{15 \cdot 3} = \frac{4 \cdot 5}{45} - \frac{2 \cdot 3}{45}$

2e étape : détermination du plus petit commun multiple des dénominateurs.

Les multiples de 9 sont 9; 18; 27; 36; 45

Les multiples de 15 sont 15; 30; 45

Le PPCM est donc de 45, ce qui signifie que les deux fractions doivent être développées de manière à ce que le dénominateur soit de 45. Pour cela, la première fraction est étendue à 45/9, soit 5, et la deuxième fraction est étendue à 45/15, soit 3.

$= \frac{4 \cdot 5 - 2 \cdot 3}{45}$

3e étape : les fractions sont maintenant ramenées au dénominateur principal et peuvent être écrites sur un trait de fraction commun.

$= \frac{14}{45}$

4e étape : calculer le numérateur donne le résultat. Il reste à vérifier si la fraction a un diviseur commun par lequel on peut la réduire.

Les diviseurs de 14 sont 1; 2; 7; 14

Les diviseurs de 45 sont 1; 3; 5; 9; 15; 45

Le plus grand diviseur commun est donc 1, ce qui signifie que la fraction ne peut pas être réduite davantage. Sinon, on aurait encore divisé le numérateur et le dénominateur par le PGCD.

Multiplication

La multiplication des fractions se fait en multipliant les numérateurs et les dénominateurs.

Multiplication générale de deux fractions : $\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}$

Exemple de multiplication de fractions

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3}$ $= \frac{1 \cdot 2}{2 \cdot 3}$ $= \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

Multiplication du numérateur et du dénominateur, puis réduction de la fraction

Calculatrice pour la multiplication de fractions

Division

La division de fractions s'effectue en multipliant la première fraction par l'inverse de la seconde.

Division générale de deux fractions : $\frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c} = \frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}} = \frac{a \cdot d}{b \cdot c}$

Exemple de division de fractions avec une barre de fraction principale

$\frac{\frac{a + b}{x} + \frac{1}{x^{2}}}{1 + \frac{1}{x}}$

Toutes les étapes partielles sont expliquées à titre d'exemple dans cet exemple.

$= \frac{\frac{x (a + b)}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}{1 + \frac{1}{x}}$

1ère étape : les fractions du numérateur sont converties en dénominateur principal. C'est-à-dire que la première fraction est étendue mi x.

$= \frac{\frac{x (a + b)}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}{\frac{x}{x} + \frac{1}{x}}$

2e étape : les fractions au dénominateur sont converties en dénominateur principal.

$= \frac{\frac{x (a + b) + 1}{x^{2}}}{\frac{x + 1}{x}}$

3ème étape : Maintenant, la fraction au numérateur et la fraction au dénominateur peuvent être écrites sur leur dénominateur principal respectif.

$= \frac{(x (a + b) + 1) x}{x^{2} (x + 1)}$

4e étape : effectuer la division en multipliant les fractions par l'inverse.

$= \frac{x (a + b) + 1}{x (x + 1)}$

5e étape : x peut encore être raccourci.

Rechner für die Division von Brüchen

Puissances

Une fraction est élevée à la puissance en élevant le numérateur et le dénominateur à la puissance.

${(\frac{a}{b})}^{p} = \frac{a^{p}}{b^{p}}$

Racines

La racine d'une fraction est le quotient des racines du numérateur et du dénominateur de la fraction.

$\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$

Exemple d'une fraction avec des racines

$\sqrt{\frac{a x^{2}}{(a - b)}} = \frac{\sqrt{a x^{2}}}{\sqrt{(a - b)}} = \frac{\sqrt{a} x}{\sqrt{(a - b)}}$

La racine carrée est appliquée au numérateur et au dénominateur.

Autres calculatrices

Voici une liste d'autres calculatrices utiles:

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